Номер 10.10, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$.

Рис. 10.7

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра равны 1.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ (единица измерения).

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до прямой воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и имеют длину 1. Боковые грани призмы являются квадратами.

Разместим точки следующим образом, чтобы упростить вычисления:

• Точка $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

• Точка $B$ лежит на оси X: $B=(1,0,0)$.

• Точка $C$ лежит в плоскости XY и образует равносторонний треугольник $ABC$ со сторонами 1. Координаты $C$ для равностороннего треугольника со стороной 1, где $A=(0,0,0)$ и $B=(1,0,0)$, будут $C = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Точки верхнего основания $A_1, B_1, C_1$ смещены относительно нижнего на 1 единицу по оси Z (поскольку высота призмы равна 1).

• $A_1 = (0,0,1)$.

• $B_1 = (1,0,1)$.

• $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Необходимо найти расстояние от точки $A=(0,0,0)$ до прямой $BC_1$. Для этого воспользуемся формулой расстояния от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$:

$d = \frac{||\vec{P_1P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

В нашем случае $P_0 = A = (0,0,0)$, $P_1 = B = (1,0,0)$. Направляющий вектор прямой $BC_1$ это $\vec{v} = \vec{BC_1} = C_1 - B$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем его модуль:

$||\vec{BC_1}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем вектор $\vec{P_1P_0}$. В нашем случае $P_1 = B$ и $P_0 = A$, поэтому $\vec{P_1P_0} = \vec{BA} = A - B$:

$\vec{BA} = (0 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{BA} \times \vec{BC_1}$:

$\vec{BA} \times \vec{BC_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{pmatrix}$

$= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2)$

$= (0, 1, -\sqrt{3}/2)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{BA} \times \vec{BC_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{||\vec{BA} \times \vec{BC_1}||}{||\vec{BC_1}||} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ:

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{14}}{4}$.