Номер 10.9, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны $1$, а боковые ребра равны $2$ (рис. 10.8). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Рис. 10.8

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $AB = a = 1$.

Боковое ребро $SA = l = 2$.

Найти:

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания. Следовательно, $SO$ - высота пирамиды.

Основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Теперь найдем длину диагонали $AC$ в основании. В правильном шестиугольнике диагональ, соединяющая вершины через одну (например, $A$ и $C$), имеет длину $a\sqrt{3}$.

$AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Рассмотрим треугольник $AOC$. Он является равнобедренным, так как $OA = OC = 1$. Длина $AC = \sqrt{3}$.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из $S$ на $AC$. Пусть $M$ - середина $AC$. Тогда $OM \perp AC$ (медиана в равнобедренном треугольнике $AOC$ является также высотой).

По теореме о трех перпендикулярах, так как $SO \perp$ плоскости основания и $OM \perp AC$, то $SM \perp AC$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $SM$.

Найдем $OM$. В прямоугольном треугольнике $AOM$ (где $M$ - середина $AC$):

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По теореме Пифагора:

$OM^2 + AM^2 = OA^2$

$OM^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1^2$

$OM^2 + \frac{3}{4} = 1$

$OM^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$OM = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. В нем $SO$ - катет, $OM$ - катет, $SM$ - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$SM^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$SM^2 = 3 + \frac{1}{4}$

$SM^2 = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Ответ:

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ равно $\frac{\sqrt{13}}{2}$.