Вопрос?, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, будет ли прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости? Приведите пример.

Решение

Да, прямая будет перпендикулярна плоскости, но только при выполнении одного важного условия: эти две прямые, лежащие в плоскости, должны пересекаться.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Математически это можно записать так: Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Если в плоскости $\alpha$ лежат две прямые $b$ и $c$, проходящие через точку $O$ (то есть они пересекаются в точке $O$), и прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих прямых ($a \perp b$ и $a \perp c$), то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Важно отметить, что если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, этого недостаточно для перпендикулярности прямой самой плоскости. Например, представьте лист бумаги (плоскость) и две параллельные линии, нарисованные на нем. Если вы положите на этот же лист обычную линейку так, чтобы она была перпендикулярна обеим нарисованным линиям, линейка не будет перпендикулярна плоскости листа; она будет лежать в той же плоскости.

Пример: Представьте себе угол комнаты. Вертикальная линия, образованная стыком двух стен, является перпендикуляром к плоскости пола. Эта вертикальная линия перпендикулярна двум линиям, лежащим на полу: одна идет вдоль основания одной стены, а другая — вдоль основания другой стены. Эти две линии на полу пересекаются в углу комнаты. Таким образом, вертикальная линия (прямая) перпендикулярна плоскости пола, потому что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (линиям вдоль оснований стен).

Ответ:

Да, прямая будет перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.