Номер 11.1, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.1. Прямая параллельна плоскости. Может ли она быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

Да, прямая, параллельная плоскости, может быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим следующую ситуацию в пространстве:

• Пусть имеется плоскость $\alpha$.
• Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ не пересекается с плоскостью $\alpha$, и расстояние от любой точки прямой $a$ до плоскости $\alpha$ постоянно.
• Пусть прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Мы хотим определить, может ли прямая $a$ быть перпендикулярной прямой $b$.

Представим себе систему координат. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (то есть ее уравнение $z=0$).

Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $Oxy$, ее направление может быть любым, параллельным плоскости $Oxy$. Например, пусть прямая $a$ параллельна оси $Ox$ и проходит через точку $(0, 0, h)$, где $h \neq 0$. Тогда вектор направления прямой $a$ равен $\vec{v}_a = (1, 0, 0)$. Эта прямая $a$ лежит в плоскости $z=h$, которая параллельна плоскости $z=0$.

Теперь рассмотрим прямую $b$, лежащую в плоскости $Oxy$. Пусть прямая $b$ совпадает с осью $Oy$. Тогда вектор направления прямой $b$ равен $\vec{v}_b = (0, 1, 0)$. Эта прямая $b$ лежит в плоскости $z=0$.

Чтобы проверить, перпендикулярны ли прямые $a$ и $b$, необходимо найти скалярное произведение их векторов направлений:

$\vec{v}_a \cdot \vec{v}_b = (1, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов направлений равно нулю, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны. Таким образом, мы нашли пример, когда прямая, параллельная плоскости, перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости.

Визуально это можно представить так: прямая $a$ — это потолочный плинтус, а плоскость $\alpha$ — это пол. Тогда прямая $b$ — это линия, нарисованная на полу, перпендикулярная стене, вдоль которой расположен плинтус.

Ответ: Да.