Номер 11.6, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.6. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

Решение

Нет, данное утверждение неверно.

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Условие «каким-нибудь двум прямым плоскости» не гарантирует, что эти прямые пересекаются.

Пояснение:

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

В геометрии существует теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости), которая гласит: «Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости». Это условие является ключевым. Если же две прямые, которым перпендикулярна данная прямая, параллельны, то прямая не обязательно будет перпендикулярна плоскости.

Контрпример:

Рассмотрим декартову систему координат $Oxyz$.

Пусть плоскость $\alpha$ — это координатная плоскость $Oxy$ (то есть плоскость, задаваемая уравнением $z=0$).

Возьмем в этой плоскости две параллельные прямые:
Прямая $a$: $y=1, z=0$ (прямая, параллельная оси $Ox$, проходящая через точку $(0,1,0)$).
Прямая $b$: $y=2, z=0$ (прямая, параллельная оси $Ox$, проходящая через точку $(0,2,0)$).

Эти прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и параллельны друг другу ($a \parallel b$).

Рассмотрим прямую $L$, которая является осью $Oy$ (то есть прямая, задаваемая уравнениями $x=0, z=0$).

Прямая $L$ (ось $Oy$) перпендикулярна прямой $a$ ($y=1, z=0$) и прямой $b$ ($y=2, z=0$), поскольку ось $Oy$ перпендикулярна любой прямой, параллельной оси $Ox$ и лежащей в плоскости $Oxy$. Вектор направления оси $Oy$ это $(0,1,0)$, а вектор направления прямых $a$ и $b$ это $(1,0,0)$. Скалярное произведение этих векторов равно $0$, что подтверждает их перпендикулярность. Таким образом, $L \perp a$ и $L \perp b$.

Однако, прямая $L$ (ось $Oy$) лежит в плоскости $\alpha$ (плоскости $Oxy$). Если прямая лежит в плоскости, то она не может быть перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая $L$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Этот контрпример показывает, что если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости, она не обязательно перпендикулярна самой плоскости. Условие о пересечении прямых является критически важным.

Ответ: Нет.