Номер 11.11, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.11. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ (рис. 11.8) докажите перпендикулярность прямых:

а) $AA_1$ и $AC$;

б) $AA_1$ и $AD$;

в) $AA_1$ и $AE$;

г) $AA_1$ и $BF$;

д) $AB$ и $BD_1$;

е) $AB$ и $EA_1$;

ж) $AC$ и $DC_1$.

Решение

Решение
По определению правильной призмы, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Прямая $AA_1$ является боковым ребром, следовательно, она перпендикулярна плоскости нижнего основания $ABCDEF$, то есть $AA_1 \perp \text{плоскости}(ABC)$.
Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.
По свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом, $AA_1 \perp AC$.

Ответ: $AA_1 \perp AC$.

Решение
Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскости нижнего основания $ABCDEF$, то есть $AA_1 \perp \text{плоскости}(ABC)$.
Прямая $AD$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.
По свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом, $AA_1 \perp AD$.

Ответ: $AA_1 \perp AD$.

Решение
Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскости нижнего основания $ABCDEF$, то есть $AA_1 \perp \text{плоскости}(ABC)$.
Прямая $AE$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.
По свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом, $AA_1 \perp AE$.

Ответ: $AA_1 \perp AE$.

Решение
Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскости нижнего основания $ABCDEF$, то есть $AA_1 \perp \text{плоскости}(ABC)$.
Прямая $BF$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.
По свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом, $AA_1 \perp BF$.

Ответ: $AA_1 \perp BF$.

Решение
Рассмотрим нижнее основание $ABCDEF$. Пусть длина стороны правильного шестиугольника равна $a$.
В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ в два раза больше стороны, то есть $AD = 2a$. Малая диагональ $BD$ равна $a\sqrt{3}$.
Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны: $AB=a$, $BD=a\sqrt{3}$, $AD=2a$.
Проверим выполнение теоремы Пифагора: $AB^2+BD^2 = a^2+(a\sqrt{3})^2 = a^2+3a^2 = 4a^2$. И $AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Так как $AB^2+BD^2=AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle ABD = 90^\circ$.
Следовательно, $AB \perp BD$.
Также, поскольку призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Это означает, что $BB_1 \perp AB$.
Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BB_1$, лежащим в плоскости боковой грани $DBB_1D_1$ (прямоугольник $DBB_1D_1$).
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $DBB_1D_1$.
Так как прямая $BD_1$ лежит в плоскости $DBB_1D_1$, то $AB \perp BD_1$.

Ответ: $AB \perp BD_1$.

Решение
Рассмотрим нижнее основание $ABCDEF$. Пусть длина стороны правильного шестиугольника равна $a$.
В правильном шестиугольнике угол между стороной и малой диагональю, исходящими из одной вершины, равен $90^\circ$.
Рассмотрим вершину $A$. Сторона $AB$ и малая диагональ $AE$.
Угол между $AF$ и $AE$ составляет $30^\circ$ (из равнобедренного треугольника $AFE$, где $AF=FE=a$, $\angle AFE=120^\circ$, так что $\angle FAE = \angle FEA = (180^\circ-120^\circ)/2 = 30^\circ$).
Угол $\angle FAB = 120^\circ$ (внутренний угол правильного шестиугольника).
Тогда $\angle EAB = \angle FAB - \angle FAE = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, $AB \perp AE$.
Также, поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Это означает, что $AA_1 \perp AB$.
Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AE$ и $AA_1$, лежащим в плоскости боковой грани $AEE_1A_1$ (прямоугольник $AEE_1A_1$).
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $AEE_1A_1$.
Так как прямая $EA_1$ лежит в плоскости $AEE_1A_1$, то $AB \perp EA_1$.

Ответ: $AB \perp EA_1$.

Решение
Рассмотрим нижнее основание $ABCDEF$. Пусть длина стороны правильного шестиугольника равна $a$.
В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ в два раза больше стороны, то есть $AD = 2a$. Малая диагональ $AC$ равна $a\sqrt{3}$.
Рассмотрим треугольник $ACD$. Его стороны: $AC=a\sqrt{3}$, $CD=a$, $AD=2a$.
Проверим выполнение теоремы Пифагора: $AC^2+CD^2 = (a\sqrt{3})^2+a^2 = 3a^2+a^2 = 4a^2$. И $AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Так как $AC^2+CD^2=AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.
Следовательно, $AC \perp CD$.
Также, поскольку призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Это означает, что $CC_1 \perp AC$.
Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CD$ и $CC_1$, лежащим в плоскости боковой грани $DCC_1D_1$ (прямоугольник $DCC_1D_1$).
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DCC_1D_1$.
Так как прямая $DC_1$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$, то $AC \perp DC_1$.

Ответ: $AC \perp DC_1$.