Номер 11.10, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.10. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 11.8) данные прямая и плоскость перпендикулярны:

а) $AA_1$ и $ABC$;

б) $AB$ и $BDD_1$;

в) $AC$ и $CDD_1$;

г) $AC$ и $BEE_1$;

д) $AD$ и $CEE_1$;

е) $AB_1$ и $BDE_1$.

Решение

В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ основаниями являются правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть сторона правильного шестиугольника равна $s$, а высота призмы равна $h$.

а) $AA_1$ и $ABC$

По определению правильной призмы, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая $AA_1$ является боковым ребром, а плоскость $ABC$ является плоскостью основания. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) $AB$ и $BDD_1$

Для доказательства перпендикулярности прямой плоскости необходимо показать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, то $AB \perp BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BDD_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $s$. Тогда $AB = s$. Диагональ $BD$ является короткой диагональю шестиугольника. Длина главной диагонали $AD = 2s$. В треугольнике $ABD$ стороны имеют длины $AB=s$, $AD=2s$. Длина короткой диагонали $BD = s\sqrt{3}$. Проверим теорему Пифагора для треугольника $ABD$: $AB^2 + BD^2 = s^2 + (s\sqrt{3})^2 = s^2 + 3s^2 = 4s^2$. Также $AD^2 = (2s)^2 = 4s^2$. Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Следовательно, $AB \perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $BDD_1$.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BB_1$ и $BD$, лежащим в плоскости $BDD_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Ответ: Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

в) $AC$ и $CDD_1$

1. Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AC \perp CC_1$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $CDD_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $s$. Тогда $CD = s$. Диагональ $AC$ является короткой диагональю шестиугольника, $AC = s\sqrt{3}$. Диагональ $AD$ является главной диагональю шестиугольника, $AD = 2s$. В треугольнике $ACD$ стороны имеют длины $AC=s\sqrt{3}$, $CD=s$, $AD=2s$. Проверим теорему Пифагора для треугольника $ACD$: $AC^2 + CD^2 = (s\sqrt{3})^2 + s^2 = 3s^2 + s^2 = 4s^2$. Также $AD^2 = (2s)^2 = 4s^2$. Поскольку $AC^2 + CD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, $AC \perp CD$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $CDD_1$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CC_1$ и $CD$, лежащим в плоскости $CDD_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $CDD_1$.

Ответ: Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $CDD_1$.

г) $AC$ и $BEE_1$

1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AC \perp BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BEE_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Пусть $O$ - начало координат. Вершины можно представить как $A(s,0)$, $B(s/2, s\sqrt{3}/2)$, $C(-s/2, s\sqrt{3}/2)$, $E(-s/2, -s\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{AC} = C - A = (-3s/2, s\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{BE} = E - B = (-s, -s\sqrt{3})$. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$: $ \vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3s/2)(-s) + (s\sqrt{3}/2)(-s\sqrt{3}) = 3s^2/2 - 3s^2/2 = 0 $. Следовательно, $AC \perp BE$. Прямая $BE$ лежит в плоскости $BEE_1$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BB_1$ и $BE$, лежащим в плоскости $BEE_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEE_1$.

Ответ: Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEE_1$.

д) $AD$ и $CEE_1$

1. Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $ABC$, то $AD \perp CC_1$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $CEE_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Пусть $O$ - начало координат. Вершины можно представить как $A(s,0)$, $D(-s,0)$, $C(-s/2, s\sqrt{3}/2)$, $E(-s/2, -s\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{AD} = D - A = (-2s, 0)$. Вектор $\vec{CE} = E - C = (0, -s\sqrt{3})$. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CE}$: $ \vec{AD} \cdot \vec{CE} = (-2s)(0) + (0)(-s\sqrt{3}) = 0 $. Следовательно, $AD \perp CE$. Прямая $CE$ лежит в плоскости $CEE_1$.

Так как прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CC_1$ и $CE$, лежащим в плоскости $CEE_1$, то прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CEE_1$.

Ответ: Прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CEE_1$.

е) $AB_1$ и $BDE_1$

Для выполнения данного пункта предполагается, что высота призмы $h$ равна стороне основания $s$. Без этого предположения прямая $AB_1$ не будет перпендикулярна плоскости $BDE_1$ в общем случае правильной шестиугольной призмы.

1. Рассмотрим прямую $AB_1$ и ее проекцию $AB$ на плоскость основания $ABC$. Из пункта б) мы знаем, что $AB \perp BD$. Так как $BB_1 \perp$ плоскости $ABC$ (и, следовательно, $BB_1 \perp BD$), то по теореме о трех перпендикулярах, если проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BD$, то и наклонная $AB_1$ перпендикулярна прямой $BD$. Таким образом, $AB_1 \perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $BDE_1$.

2. Рассмотрим прямую $AB_1$ и $BE_1$. Для доказательства их перпендикулярности используем метод координат, предполагая $h=s$. Пусть $O=(0,0,0)$ - центр нижнего основания.Вершины имеют координаты: $A(s,0,0)$, $B(s/2, s\sqrt{3}/2, 0)$, $E(-s/2, -s\sqrt{3}/2, 0)$.Вершины верхнего основания: $A_1(s,0,s)$, $B_1(s/2, s\sqrt{3}/2, s)$, $E_1(-s/2, -s\sqrt{3}/2, s)$.Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (s/2 - s, s\sqrt{3}/2 - 0, s - 0) = (-s/2, s\sqrt{3}/2, s)$.Вектор $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-s/2 - s/2, -s\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2, s - 0) = (-s, -s\sqrt{3}, s)$.Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BE_1}$: $ \vec{AB_1} \cdot \vec{BE_1} = (-s/2)(-s) + (s\sqrt{3}/2)(-s\sqrt{3}) + (s)(s) = s^2/2 - 3s^2/2 + s^2 = -s^2 + s^2 = 0 $.Следовательно, $AB_1 \perp BE_1$. Прямая $BE_1$ лежит в плоскости $BDE_1$.

Так как прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BE_1$, лежащим в плоскости $BDE_1$ (при условии $h=s$), то прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $BDE_1$.

Ответ: Прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $BDE_1$ (при условии, что высота призмы равна стороне её основания).