Номер 11.13, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.13. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $BD_1$ перпендикуляр-

на плоскости $ACB_1$.

11.14. Докажите, что в правильной шестиугольной пирамиде $SABCD...$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Решение:

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим прямую $BD$ и плоскость $ACB_1$.

1. Рассмотрим прямую $AC$, которая лежит в плоскости $ACB_1$. Основание куба $ABCD$ является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$: $BD \perp AC$.

2. Теперь необходимо найти вторую прямую в плоскости $ACB_1$, которая пересекается с $AC$ (или $AB_1$, или $CB_1$) и перпендикулярна $BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ в квадрате $ABCD$. Точка $O$ является центром квадрата $ABCD$. Так как $O$ лежит на $AC$, а $AC$ лежит в плоскости $ACB_1$, то точка $O$ лежит в плоскости $ACB_1$. Рассмотрим прямую $B_1O$, которая лежит в плоскости $ACB_1$ (так как точки $B_1$ и $O$ лежат в этой плоскости). Определим, перпендикулярна ли прямая $BD$ прямой $B_1O$.

Воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, что $A = (0,0,0)$, $B = (a,0,0)$, $C = (a,a,0)$, $D = (0,a,0)$. Соответственно, $B_1 = (a,0,a)$.

Вектор направления прямой $BD$: $\vec{BD} = D - B = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$.

Точка $O$ — середина $AC$ и $BD$. Координаты $O = (\frac{a+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

Вектор направления прямой $B_1O$: $\vec{B_1O} = O - B_1 = (\frac{a}{2}-a, \frac{a}{2}-0, 0-a) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a)$.

Проверим скалярное произведение векторов $\vec{BD}$ и $\vec{B_1O}$: $\vec{BD} \cdot \vec{B_1O} = (-a) \cdot (-\frac{a}{2}) + (a) \cdot (\frac{a}{2}) + (0) \cdot (-a)$ $= \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = a^2$.

Для того чтобы прямые были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. В нашем случае $a^2 = 0$ только при $a=0$, что невозможно для куба.

Таким образом, прямая $BD$ не перпендикулярна прямой $B_1O$.

Поскольку прямая $BD$ не перпендикулярна двум пересекающимся прямым (в данном случае $AC$ и $B_1O$ - $AC$ и $B_1O$ пересекаются в $O$, но $BD$ не перпендикулярна $B_1O$) в плоскости $ACB_1$, то утверждение, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$, является неверным.

Ответ: Утверждение, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$, является ложным.