Номер 11.7, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.7. При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой?

Решение

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$. Требуется определить взаимное расположение этих прямых, при котором через одну из них (например, $l_1$) можно провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную другой прямой ($l_2$).

Если плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $l_2$ (т.е. $\alpha \perp l_2$), то по определению прямая $l_2$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$.

По условию, прямая $l_1$ лежит в плоскости $\alpha$ (т.е. $l_1 \subset \alpha$). Следовательно, из условия $\alpha \perp l_2$ и $l_1 \subset \alpha$ вытекает, что прямая $l_1$ должна быть перпендикулярна прямой $l_2$ (т.е. $l_1 \perp l_2$).

Рассмотрим различные случаи взаимного расположения прямых и проверим, возможно ли такое построение:

1.Параллельные прямые: Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$), и при этом плоскость $\alpha$ содержит прямую $l_1$ ($l_1 \subset \alpha$) и перпендикулярна прямой $l_2$ ($\alpha \perp l_2$), то из $l_1 \parallel l_2$ и $\alpha \perp l_2$ следует, что $\alpha \perp l_1$. Однако плоскость не может быть перпендикулярна прямой, которую она содержит, поскольку это означало бы, что направление прямой совпадает с нормалью к плоскости, что противоречит ее принадлежности плоскости. Таким образом, параллельные прямые не удовлетворяют условию.

2.Пересекающиеся прямые: Если прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в некоторой точке $P$. Для того чтобы через $l_1$ можно было провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную $l_2$, необходимо, как показано выше, чтобы $l_1 \perp l_2$. Если прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, то можно построить такую плоскость. Например, плоскость, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная прямой $l_2$, будет содержать все прямые, проходящие через $P$ и перпендикулярные $l_2$. Так как $l_1 \perp l_2$, прямая $l_1$ является одной из таких прямых, и, следовательно, она будет лежать в этой плоскости. Таким образом, для пересекающихся прямых условие выполняется, если они перпендикулярны.

3.Скрещивающиеся прямые: Если прямые $l_1$ и $l_2$ скрещиваются. Для того чтобы через $l_1$ можно было провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную $l_2$, также необходимо, чтобы $l_1 \perp l_2$. Предположим, что $l_1 \perp l_2$. Возьмем произвольную точку $P$ на прямой $l_1$. Проведем через точку $P$ прямую $m$, параллельную прямой $l_2$ ($m \parallel l_2$). Так как $l_1 \perp l_2$ (по предположению) и $m \parallel l_2$, то $l_1 \perp m$. Прямые $l_1$ и $m$ пересекаются в точке $P$ и являются перпендикулярными. Эти две прямые определяют единственную плоскость $\alpha$. Поскольку $l_2$ перпендикулярна $l_1$ (по предположению) и $l_2$ перпендикулярна $m$ (так как $m \parallel l_2$), а $l_1$ и $m$ — две пересекающиеся прямые в плоскости $\alpha$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l_2$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\alpha \perp l_2$). При этом прямая $l_1$ лежит в этой плоскости $\alpha$. Таким образом, для скрещивающихся прямых условие также выполняется, если они перпендикулярны.

Обобщая все рассмотренные случаи, приходим к выводу, что такое расположение возможно только тогда, когда прямые $l_1$ и $l_2$ взаимно перпендикулярны.

Ответ: Прямые должны быть перпендикулярны.