Страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости?

2. Какой отрезок называется перпендикулярным плоскости?

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости?

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

Ответ: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

2. Какой отрезок называется перпендикулярным плоскости?

Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если прямая, содержащая этот отрезок, перпендикулярна данной плоскости.

Ответ: Отрезок перпендикулярен плоскости, если прямая, содержащая его, перпендикулярна этой плоскости.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая пересекает плоскость и перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то эта прямая перпендикулярна данной плоскости.

Ответ: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

11.1. Прямая параллельна плоскости. Может ли она быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

Да, прямая, параллельная плоскости, может быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим следующую ситуацию в пространстве:

• Пусть имеется плоскость $\alpha$.
• Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ не пересекается с плоскостью $\alpha$, и расстояние от любой точки прямой $a$ до плоскости $\alpha$ постоянно.
• Пусть прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Мы хотим определить, может ли прямая $a$ быть перпендикулярной прямой $b$.

Представим себе систему координат. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (то есть ее уравнение $z=0$).

Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $Oxy$, ее направление может быть любым, параллельным плоскости $Oxy$. Например, пусть прямая $a$ параллельна оси $Ox$ и проходит через точку $(0, 0, h)$, где $h \neq 0$. Тогда вектор направления прямой $a$ равен $\vec{v}_a = (1, 0, 0)$. Эта прямая $a$ лежит в плоскости $z=h$, которая параллельна плоскости $z=0$.

Теперь рассмотрим прямую $b$, лежащую в плоскости $Oxy$. Пусть прямая $b$ совпадает с осью $Oy$. Тогда вектор направления прямой $b$ равен $\vec{v}_b = (0, 1, 0)$. Эта прямая $b$ лежит в плоскости $z=0$.

Чтобы проверить, перпендикулярны ли прямые $a$ и $b$, необходимо найти скалярное произведение их векторов направлений:

$\vec{v}_a \cdot \vec{v}_b = (1, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов направлений равно нулю, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны. Таким образом, мы нашли пример, когда прямая, параллельная плоскости, перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости.

Визуально это можно представить так: прямая $a$ — это потолочный плинтус, а плоскость $\alpha$ — это пол. Тогда прямая $b$ — это линия, нарисованная на полу, перпендикулярная стене, вдоль которой расположен плинтус.

Ответ: Да.

11.2. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам?

11.3.

Решение

Рассмотрим плоскость, в которой расположен треугольник. Пусть эта плоскость будет обозначена $\alpha$. Треугольник имеет три стороны. В условии сказано, что прямая перпендикулярна двум сторонам треугольника. Эти две стороны треугольника являются пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости $\alpha$. Например, если выбрать стороны AB и AC треугольника ABC, они пересекаются в точке A и лежат в плоскости треугольника. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В данном случае, прямая перпендикулярна двум сторонам треугольника, которые являются пересекающимися прямыми и лежат в плоскости треугольника. Следовательно, данная прямая перпендикулярна плоскости, в которой лежит треугольник.

Ответ: Прямая перпендикулярна плоскости треугольника.

11.3. Верно ли, что прямая, пересекающая
круг в центре, перпендикулярна пло-
скости круга в случае, если прямая
перпендикулярна: а) диаметру круга;
б) двум его диаметрам?

а) диаметру круга

Нет, это утверждение неверно. Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения. Если прямая $L$ проходит через центр круга $O$ и перпендикулярна только одному диаметру $D$ этого круга, то этого недостаточно для перпендикулярности прямой $L$ всей плоскости круга. Например, прямая $L$ может лежать в плоскости круга и быть перпендикулярной выбранному диаметру $D$ (как другой диаметр, перпендикулярный $D$). В этом случае прямая $L$ не перпендикулярна плоскости круга, а лежит в ней.

Ответ: Нет.

б) двум его диаметрам

Да, это утверждение верно. Если прямая $L$ проходит через центр круга $O$ и перпендикулярна двум диаметрам этого круга, например $D_1$ и $D_2$, то она перпендикулярна плоскости круга. Диаметры $D_1$ и $D_2$ являются пересекающимися прямыми (их точка пересечения - центр круга $O$), которые лежат в плоскости круга. Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, поскольку прямая $L$ перпендикулярна $D_1$ ($L \perp D_1$) и $L$ перпендикулярна $D_2$ ($L \perp D_2$), а $D_1$ и $D_2$ лежат в плоскости круга и пересекаются в точке $O$, то прямая $L$ перпендикулярна плоскости круга.

Ответ: Да.

11.4. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ и не перпендикулярна этой плоскости. Существуют ли в плоскости $\alpha$ прямые, перпендикулярные $a$?

Решение

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P$. По условию задачи, прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Рассмотрим вспомогательную плоскость $\beta$, которая проходит через точку $P$ и перпендикулярна прямой $a$. Согласно аксиомам стереометрии, через любую точку пространства можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.

Все прямые, которые лежат в плоскости $\beta$ и проходят через точку $P$, по определению перпендикулярны прямой $a$.

Теперь рассмотрим взаиморасположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они обе проходят через точку $P$. Поскольку прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, плоскость $\beta$ не совпадает с плоскостью $\alpha$. Также, поскольку они имеют общую точку $P$, они не являются параллельными. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой линии. Обозначим эту линию как $l$.

Прямая $l$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Из этого следует, что прямая $l$ лежит полностью в плоскости $\alpha$. Также прямая $l$ лежит полностью в плоскости $\beta$. Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $P$, а плоскость $\beta$ перпендикулярна прямой $a$, то прямая $l$ перпендикулярна прямой $a$.

Таким образом, мы нашли прямую $l$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна прямой $a$.

Ответ: Да, существуют.

11.5. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.7) данные прямая и плоскость перпендикулярны:

а) $AA_1$ и $ABC$;

б) $AB$ и $BCC_1$;

в) $AB_1$ и $BCD_1$.

Рис. 11.7

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.7).

Найти: Доказать, что данные прямая и плоскость перпендикулярны:

Решение:

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно показать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

а) $AA_1$ и $ABC$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AA_1$ перпендикулярно ребрам $AB$ и $AD$. Это следует из того, что грани $ABA_1B_1$ и $ADA_1D_1$ являются квадратами, а смежные стороны квадрата перпендикулярны. Таким образом, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$.

Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $A$.

По определению, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: $AA_1 \perp ABC$

б) $AB$ и $BCC_1$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ перпендикулярно ребрам $BC$ и $BB_1$. Это следует из того, что грани $ABCD$ и $ABA_1B_1$ являются квадратами, а смежные стороны квадрата перпендикулярны. Таким образом, $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$.

Прямые $BC$ и $BB_1$ лежат в плоскости $BCC_1$ и пересекаются в точке $B$.

По определению, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Ответ: $AB \perp BCC_1$

в) $AB_1$ и $BCD_1$

Для доказательства перпендикулярности прямой $AB_1$ и плоскости $BCD_1$ воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты необходимых точек:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C = (a,a,0)$
• $D_1 = (0,a,a)$

Найдем вектор $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$

В плоскости $BCD_1$ выберем две пересекающиеся прямые, например, $BC$ и $BD_1$. Эти прямые пересекаются в точке $B$.

Найдем вектор $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = (a)(0) + (0)(a) + (a)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB_1} \perp \vec{BC}$, то есть прямая $AB_1$ перпендикулярна прямой $BC$.

Найдем вектор $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BD_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = (a)(-a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB_1} \perp \vec{BD_1}$, то есть прямая $AB_1$ перпендикулярна прямой $BD_1$.

Поскольку прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BD_1$), лежащим в плоскости $BCD_1$, то прямая $AB_1$ перпендикулярна этой плоскости.

Ответ: $AB_1 \perp BCD_1$

11.6. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

Решение

Нет, данное утверждение неверно.

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Условие «каким-нибудь двум прямым плоскости» не гарантирует, что эти прямые пересекаются.

Пояснение:

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

В геометрии существует теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости), которая гласит: «Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости». Это условие является ключевым. Если же две прямые, которым перпендикулярна данная прямая, параллельны, то прямая не обязательно будет перпендикулярна плоскости.

Контрпример:

Рассмотрим декартову систему координат $Oxyz$.

Пусть плоскость $\alpha$ — это координатная плоскость $Oxy$ (то есть плоскость, задаваемая уравнением $z=0$).

Возьмем в этой плоскости две параллельные прямые:
Прямая $a$: $y=1, z=0$ (прямая, параллельная оси $Ox$, проходящая через точку $(0,1,0)$).
Прямая $b$: $y=2, z=0$ (прямая, параллельная оси $Ox$, проходящая через точку $(0,2,0)$).

Эти прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и параллельны друг другу ($a \parallel b$).

Рассмотрим прямую $L$, которая является осью $Oy$ (то есть прямая, задаваемая уравнениями $x=0, z=0$).

Прямая $L$ (ось $Oy$) перпендикулярна прямой $a$ ($y=1, z=0$) и прямой $b$ ($y=2, z=0$), поскольку ось $Oy$ перпендикулярна любой прямой, параллельной оси $Ox$ и лежащей в плоскости $Oxy$. Вектор направления оси $Oy$ это $(0,1,0)$, а вектор направления прямых $a$ и $b$ это $(1,0,0)$. Скалярное произведение этих векторов равно $0$, что подтверждает их перпендикулярность. Таким образом, $L \perp a$ и $L \perp b$.

Однако, прямая $L$ (ось $Oy$) лежит в плоскости $\alpha$ (плоскости $Oxy$). Если прямая лежит в плоскости, то она не может быть перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая $L$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Этот контрпример показывает, что если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости, она не обязательно перпендикулярна самой плоскости. Условие о пересечении прямых является критически важным.

Ответ: Нет.

11.7. При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой?

Решение

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$. Требуется определить взаимное расположение этих прямых, при котором через одну из них (например, $l_1$) можно провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную другой прямой ($l_2$).

Если плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $l_2$ (т.е. $\alpha \perp l_2$), то по определению прямая $l_2$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$.

По условию, прямая $l_1$ лежит в плоскости $\alpha$ (т.е. $l_1 \subset \alpha$). Следовательно, из условия $\alpha \perp l_2$ и $l_1 \subset \alpha$ вытекает, что прямая $l_1$ должна быть перпендикулярна прямой $l_2$ (т.е. $l_1 \perp l_2$).

Рассмотрим различные случаи взаимного расположения прямых и проверим, возможно ли такое построение:

1.Параллельные прямые: Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$), и при этом плоскость $\alpha$ содержит прямую $l_1$ ($l_1 \subset \alpha$) и перпендикулярна прямой $l_2$ ($\alpha \perp l_2$), то из $l_1 \parallel l_2$ и $\alpha \perp l_2$ следует, что $\alpha \perp l_1$. Однако плоскость не может быть перпендикулярна прямой, которую она содержит, поскольку это означало бы, что направление прямой совпадает с нормалью к плоскости, что противоречит ее принадлежности плоскости. Таким образом, параллельные прямые не удовлетворяют условию.

2.Пересекающиеся прямые: Если прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в некоторой точке $P$. Для того чтобы через $l_1$ можно было провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную $l_2$, необходимо, как показано выше, чтобы $l_1 \perp l_2$. Если прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, то можно построить такую плоскость. Например, плоскость, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная прямой $l_2$, будет содержать все прямые, проходящие через $P$ и перпендикулярные $l_2$. Так как $l_1 \perp l_2$, прямая $l_1$ является одной из таких прямых, и, следовательно, она будет лежать в этой плоскости. Таким образом, для пересекающихся прямых условие выполняется, если они перпендикулярны.

3.Скрещивающиеся прямые: Если прямые $l_1$ и $l_2$ скрещиваются. Для того чтобы через $l_1$ можно было провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную $l_2$, также необходимо, чтобы $l_1 \perp l_2$. Предположим, что $l_1 \perp l_2$. Возьмем произвольную точку $P$ на прямой $l_1$. Проведем через точку $P$ прямую $m$, параллельную прямой $l_2$ ($m \parallel l_2$). Так как $l_1 \perp l_2$ (по предположению) и $m \parallel l_2$, то $l_1 \perp m$. Прямые $l_1$ и $m$ пересекаются в точке $P$ и являются перпендикулярными. Эти две прямые определяют единственную плоскость $\alpha$. Поскольку $l_2$ перпендикулярна $l_1$ (по предположению) и $l_2$ перпендикулярна $m$ (так как $m \parallel l_2$), а $l_1$ и $m$ — две пересекающиеся прямые в плоскости $\alpha$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l_2$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\alpha \perp l_2$). При этом прямая $l_1$ лежит в этой плоскости $\alpha$. Таким образом, для скрещивающихся прямых условие также выполняется, если они перпендикулярны.

Обобщая все рассмотренные случаи, приходим к выводу, что такое расположение возможно только тогда, когда прямые $l_1$ и $l_2$ взаимно перпендикулярны.

Ответ: Прямые должны быть перпендикулярны.

11.8. Определите вид треугольника, если через одну из его сторон можно провести плоскость, перпендикулярную другой стороне.

Определите вид треугольника, если через одну из его сторон можно провести плоскость, перпендикулярную другой стороне.

Решение

Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его сторон, например, сторону $AB$. Согласно условию задачи, через эту сторону $AB$ можно провести плоскость $\mathcal{P}$.

Также по условию, эта плоскость $\mathcal{P}$ перпендикулярна другой стороне треугольника, например, стороне $BC$.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В нашем случае, прямая, содержащая сторону $BC$, перпендикулярна плоскости $\mathcal{P}$.

Так как сторона $AB$ полностью лежит в плоскости $\mathcal{P}$, то прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AB$.

Если две стороны треугольника перпендикулярны друг другу, это означает, что угол между этими сторонами равен $90^\circ$.

Треугольник, который имеет один угол, равный $90^\circ$, называется прямоугольным треугольником.

Таким образом, условие, что через одну из сторон треугольника можно провести плоскость, перпендикулярную другой стороне, означает, что эти две стороны взаимно перпендикулярны.

Ответ: Прямоугольный треугольник.

11.9. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.7) докажите перпендикулярность прямых:

а) $AA_1$ и $AC$;

б) $AA_1$ и $BD$;

в) $AB$ и $BC_1$.

Рис. 11.7

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Доказать перпендикулярность следующих пар прямых: а) $AA_1$ и $AC$; б) $AA_1$ и $BD$; в) $AB$ и $BC_1$.

Решение

Прямая $AA_1$ является ребром куба, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Прямая $AC$ является диагональю грани $ABCD$ и полностью лежит в плоскости $ABCD$. Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$.

Ответ: Прямые $AA_1$ и $AC$ перпендикулярны.

Прямая $AA_1$ является ребром куба, перпендикулярным плоскости основания $ABCD$. Прямая $BD$ является диагональю грани $ABCD$ и полностью лежит в плоскости $ABCD$. Так как прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $BD$.

Ответ: Прямые $AA_1$ и $BD$ перпендикулярны.

Прямая $AB$ является ребром куба. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Прямая $AB$ перпендикулярна ребру $BC$ (так как $ABCD$ - квадрат и все углы между смежными рёбрами прямые). Прямая $AB$ также перпендикулярна ребру $BB_1$ (так как $ABB_1A_1$ - квадрат). Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$, лежащим в плоскости грани $BCC_1B_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, лежит в этой плоскости. Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC_1$.

Ответ: Прямые $AB$ и $BC_1$ перпендикулярны.

11.10. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 11.8) данные прямая и плоскость перпендикулярны:

а) $AA_1$ и $ABC$;

б) $AB$ и $BDD_1$;

в) $AC$ и $CDD_1$;

г) $AC$ и $BEE_1$;

д) $AD$ и $CEE_1$;

е) $AB_1$ и $BDE_1$.

Решение

В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ основаниями являются правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть сторона правильного шестиугольника равна $s$, а высота призмы равна $h$.

а) $AA_1$ и $ABC$

По определению правильной призмы, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая $AA_1$ является боковым ребром, а плоскость $ABC$ является плоскостью основания. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) $AB$ и $BDD_1$

Для доказательства перпендикулярности прямой плоскости необходимо показать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, то $AB \perp BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BDD_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $s$. Тогда $AB = s$. Диагональ $BD$ является короткой диагональю шестиугольника. Длина главной диагонали $AD = 2s$. В треугольнике $ABD$ стороны имеют длины $AB=s$, $AD=2s$. Длина короткой диагонали $BD = s\sqrt{3}$. Проверим теорему Пифагора для треугольника $ABD$: $AB^2 + BD^2 = s^2 + (s\sqrt{3})^2 = s^2 + 3s^2 = 4s^2$. Также $AD^2 = (2s)^2 = 4s^2$. Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Следовательно, $AB \perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $BDD_1$.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BB_1$ и $BD$, лежащим в плоскости $BDD_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Ответ: Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

в) $AC$ и $CDD_1$

1. Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AC \perp CC_1$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $CDD_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $s$. Тогда $CD = s$. Диагональ $AC$ является короткой диагональю шестиугольника, $AC = s\sqrt{3}$. Диагональ $AD$ является главной диагональю шестиугольника, $AD = 2s$. В треугольнике $ACD$ стороны имеют длины $AC=s\sqrt{3}$, $CD=s$, $AD=2s$. Проверим теорему Пифагора для треугольника $ACD$: $AC^2 + CD^2 = (s\sqrt{3})^2 + s^2 = 3s^2 + s^2 = 4s^2$. Также $AD^2 = (2s)^2 = 4s^2$. Поскольку $AC^2 + CD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, $AC \perp CD$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $CDD_1$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CC_1$ и $CD$, лежащим в плоскости $CDD_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $CDD_1$.

Ответ: Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $CDD_1$.

г) $AC$ и $BEE_1$

1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AC \perp BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BEE_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Пусть $O$ - начало координат. Вершины можно представить как $A(s,0)$, $B(s/2, s\sqrt{3}/2)$, $C(-s/2, s\sqrt{3}/2)$, $E(-s/2, -s\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{AC} = C - A = (-3s/2, s\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{BE} = E - B = (-s, -s\sqrt{3})$. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$: $ \vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3s/2)(-s) + (s\sqrt{3}/2)(-s\sqrt{3}) = 3s^2/2 - 3s^2/2 = 0 $. Следовательно, $AC \perp BE$. Прямая $BE$ лежит в плоскости $BEE_1$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BB_1$ и $BE$, лежащим в плоскости $BEE_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEE_1$.

Ответ: Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEE_1$.

д) $AD$ и $CEE_1$

1. Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $ABC$, то $AD \perp CC_1$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $CEE_1$.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Пусть $O$ - начало координат. Вершины можно представить как $A(s,0)$, $D(-s,0)$, $C(-s/2, s\sqrt{3}/2)$, $E(-s/2, -s\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{AD} = D - A = (-2s, 0)$. Вектор $\vec{CE} = E - C = (0, -s\sqrt{3})$. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CE}$: $ \vec{AD} \cdot \vec{CE} = (-2s)(0) + (0)(-s\sqrt{3}) = 0 $. Следовательно, $AD \perp CE$. Прямая $CE$ лежит в плоскости $CEE_1$.

Так как прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CC_1$ и $CE$, лежащим в плоскости $CEE_1$, то прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CEE_1$.

Ответ: Прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CEE_1$.

е) $AB_1$ и $BDE_1$

Для выполнения данного пункта предполагается, что высота призмы $h$ равна стороне основания $s$. Без этого предположения прямая $AB_1$ не будет перпендикулярна плоскости $BDE_1$ в общем случае правильной шестиугольной призмы.

1. Рассмотрим прямую $AB_1$ и ее проекцию $AB$ на плоскость основания $ABC$. Из пункта б) мы знаем, что $AB \perp BD$. Так как $BB_1 \perp$ плоскости $ABC$ (и, следовательно, $BB_1 \perp BD$), то по теореме о трех перпендикулярах, если проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BD$, то и наклонная $AB_1$ перпендикулярна прямой $BD$. Таким образом, $AB_1 \perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $BDE_1$.

2. Рассмотрим прямую $AB_1$ и $BE_1$. Для доказательства их перпендикулярности используем метод координат, предполагая $h=s$. Пусть $O=(0,0,0)$ - центр нижнего основания.Вершины имеют координаты: $A(s,0,0)$, $B(s/2, s\sqrt{3}/2, 0)$, $E(-s/2, -s\sqrt{3}/2, 0)$.Вершины верхнего основания: $A_1(s,0,s)$, $B_1(s/2, s\sqrt{3}/2, s)$, $E_1(-s/2, -s\sqrt{3}/2, s)$.Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (s/2 - s, s\sqrt{3}/2 - 0, s - 0) = (-s/2, s\sqrt{3}/2, s)$.Вектор $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-s/2 - s/2, -s\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2, s - 0) = (-s, -s\sqrt{3}, s)$.Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BE_1}$: $ \vec{AB_1} \cdot \vec{BE_1} = (-s/2)(-s) + (s\sqrt{3}/2)(-s\sqrt{3}) + (s)(s) = s^2/2 - 3s^2/2 + s^2 = -s^2 + s^2 = 0 $.Следовательно, $AB_1 \perp BE_1$. Прямая $BE_1$ лежит в плоскости $BDE_1$.

Так как прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BE_1$, лежащим в плоскости $BDE_1$ (при условии $h=s$), то прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $BDE_1$.

Ответ: Прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $BDE_1$ (при условии, что высота призмы равна стороне её основания).