Страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.15. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все ребра равны 1, точка $D_1$ — середина ребра $B_1C_1$ (рис. 9.17). Найдите тангенс угла между прямыми $AD_1$ и $BB_1$.

Рис. 9.17

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Длины всех ребер равны 1: $AB=BC=CA=A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=AA_1=BB_1=CC_1=1$. Точка $D_1$ — середина ребра $B_1 C_1$.

Поскольку все длины заданы в одних и тех же условных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Тангенс угла между прямыми $AD_1$ и $BB_1$.

Решение

Для того чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $BB_1$, мы можем заменить одну из прямых на параллельную ей прямую, которая пересекает другую прямую. В данной призме боковые ребра параллельны друг другу. В частности, прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$. Следовательно, угол между прямыми $AD_1$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $AD_1$ и $AA_1$. Обозначим искомый угол как $\alpha$, то есть $\alpha = \angle (AD_1, BB_1) = \angle (AD_1, AA_1)$. Этот угол является углом $\angle A_1AD_1$ в треугольнике $A A_1 D_1$.

Рассмотрим треугольник $A A_1 D_1$. Так как $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, оно перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Отрезок $A_1D_1$ лежит в плоскости основания $A_1B_1C_1$. Из этого следует, что $AA_1 \perp A_1D_1$. Таким образом, треугольник $A A_1 D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

Тангенс угла $\angle A_1AD_1$ в прямоугольном треугольнике $A A_1 D_1$ определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета: $\tan(\angle A_1AD_1) = \frac{A_1D_1}{AA_1}$.

По условию задачи, длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, $AA_1 = 1$.

Теперь найдем длину отрезка $A_1D_1$. Основание призмы $A_1B_1C_1$ является равносторонним треугольником со стороной, равной 1 (так как все ребра равны 1). Точка $D_1$ является серединой ребра $B_1C_1$. Таким образом, $A_1D_1$ является медианой, проведенной из вершины $A_1$ к стороне $B_1C_1$ в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Значит, $A_1D_1 \perp B_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1D_1B_1$ (с прямым углом при $D_1$). Гипотенуза $A_1B_1 = 1$. Катет $B_1D_1 = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Используем теорему Пифагора для нахождения $A_1D_1$: $A_1D_1^2 + B_1D_1^2 = A_1B_1^2$ $A_1D_1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1^2$ $A_1D_1^2 + \frac{1}{4} = 1$ $A_1D_1^2 = 1 - \frac{1}{4}$ $A_1D_1^2 = \frac{3}{4}$ $A_1D_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим значения $A_1D_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $AA_1 = 1$ в формулу для тангенса: $\tan(\angle A_1AD_1) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

9.16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 9.12). Найдите косинус угла между прямыми:
а) $SA$ и $CD$;
б) $SA$ и $BD$.

Рис. 9.12

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Длина бокового ребра $l = 2$.

Найти:
а) $\cos(\angle (SA, CD))$
б) $\cos(\angle (SA, BD))$

Решение:

а) SA и CD
Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $CD$, перенесем прямую $CD$ так, чтобы она проходила через точку $A$.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $AF$.
Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $CD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AF$, то есть $\angle SAF$.
Рассмотрим треугольник $SAF$.
Длины сторон треугольника $SAF$:
$SA = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$SF = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$AF = a = 1$ (сторона основания шестиугольника).
Используем теорему косинусов для треугольника $SAF$ для нахождения $\cos(\angle SAF)$:
$SF^2 = SA^2 + AF^2 - 2 \cdot SA \cdot AF \cdot \cos(\angle SAF)$
$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAF)$
$4 = 4 + 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAF)$
$0 = 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAF)$
$4 \cdot \cos(\angle SAF) = 1$
$\cos(\angle SAF) = \frac{1}{4}$

Ответ: $\cos(\angle (SA, CD)) = \frac{1}{4}$

б) SA и BD
Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BD$, перенесем прямую $BD$ так, чтобы она проходила через точку $A$.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\vec{BD}$ параллелен вектору $\vec{AE}$.
Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $BD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AE$, то есть $\angle SAE$.
Рассмотрим треугольник $SAE$.
Длины сторон треугольника $SAE$:
$SA = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$SE = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$AE$ - это малая диагональ правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
$AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Используем теорему косинусов для треугольника $SAE$ для нахождения $\cos(\angle SAE)$:
$SE^2 = SA^2 + AE^2 - 2 \cdot SA \cdot AE \cdot \cos(\angle SAE)$
$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$
$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$
$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$
$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE) = 3$
$\cos(\angle SAE) = \frac{3}{4\sqrt{3}}$
Рационализируем знаменатель:
$\cos(\angle SAE) = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\cos(\angle (SA, BD)) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Рис. 9.17

9.17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1

(рис. 9.13). Найдите косинус угла между прямыми:
а) $AB_1$ и $BC_1$;
б) $AB_1$ и $CD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

б) Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания призмы в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, длина стороны основания равна 1, а высота призмы также равна 1.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (с координатой $z=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Угол $\theta$ между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если линии являются скрещивающимися (не параллельными и не пересекающимися), то для нахождения угла между ними следует перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую. Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Мы берем модуль числителя, чтобы угол был острым (как обычно определяется угол между прямыми).

а) $AB_1$ и $BC_1$

Найдем направляющие векторы прямых:

Вектор $\vec{AB_1}$: $B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{BC_1}$: $C_1 - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1/2)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (1)(1) = 1/2 + 0 + 1 = 3/2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла $\theta_1$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$:

$\cos\theta_1 = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| |\vec{BC_1}|} = \frac{|3/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) $AB_1$ и $CD_1$

Направляющий вектор прямой $AB_1$ уже известен: $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем направляющий вектор прямой $CD_1$:

Вектор $\vec{CD_1}$: $D_1 - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (-1/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (1)(1) = 1/4 - 3/4 + 1 = -2/4 + 1 = -1/2 + 1 = 1/2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта а)).

$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла $\theta_2$ между прямыми $AB_1$ и $CD_1$:

$\cos\theta_2 = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1}|}{|\vec{AB_1}| |\vec{CD_1}|} = \frac{|1/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

9.18. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются перпендикулярные прямые.

Примеры реальных объектов, идеализацией которых являются перпендикулярные прямые:

• Угол между двумя стенами, или между стеной и полом в помещении.

• Пересечение линий дорожной разметки, например, линии пешеходного перехода, образующие прямой угол.

• Положение стрелок часов, показывающих 3:00 или 9:00.

• Угол между смежными сторонами прямоугольного стола, книги или листа бумаги.

• Пересечение вертикальных и горизонтальных элементов оконной рамы или дверного проема.

• Пересечение балок или стоек в некоторых строительных конструкциях, расположенных под прямым углом друг к другу.

Ответ: Примерами реальных объектов, идеализацией которых являются перпендикулярные прямые, могут служить: угол комнаты, пересечение линий пешеходного перехода, положение стрелок часов в 3:00 или 9:00, угол стола или книжки, оконная рама, а также пересечение балок строительных конструкций.

9.19. Повторите определение расстояния от точки до прямой на плоскости.

Определение расстояния от точки до прямой на плоскости:

Расстоянием от точки до прямой на плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Это наименьшее расстояние от данной точки до любой точки на данной прямой.

Если дана точка $P(x_0, y_0)$ и прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$, то расстояние $d$ от точки до прямой вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Ответ: Расстояние от точки до прямой на плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

9.20. Определите понятие расстояния от точки до прямой в пространстве.

Определение понятия расстояния от точки до прямой в пространстве:

Расстояние от точки до прямой в пространстве - это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Это кратчайшее расстояние между точкой и любой точкой, лежащей на прямой.

Для вычисления расстояния $d$ от точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой $L$, заданной проходящей через точку $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{v} = (a, b, c)$, может быть использована следующая формула:

$d = \frac{||\vec{P_1 P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

Здесь $\vec{P_1 P_0}$ обозначает вектор, направленный от точки $P_1$ (лежащей на прямой) к точке $P_0$, а символ $\times$ обозначает векторное произведение. Знаки $||\cdot||$ обозначают длину (модуль) вектора.

Ответ: Расстояние от точки до прямой в пространстве - это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

9.21. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от вершины $A$ до прямой:

а) BC;

б) BB_1.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

а) Расстояние от вершины A до прямой BC.

б) Расстояние от вершины A до прямой $BB_1$.

Решение

а) BC

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Рассмотрим грань ABCD куба. Грань ABCD является квадратом. В квадрате ABCD ребра AB и BC перпендикулярны, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, отрезок AB является перпендикуляром, опущенным из вершины A на прямую BC. Длина этого отрезка AB равна длине ребра единичного куба, то есть $AB = a = 1$.

Ответ: 1

б) $BB_1$

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$ куба. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом. В квадрате $ABB_1A_1$ ребра AB и $BB_1$ перпендикулярны, то есть $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Следовательно, отрезок AB является перпендикуляром, опущенным из вершины A на прямую $BB_1$. Длина этого отрезка AB равна длине ребра единичного куба, то есть $AB = a = 1$.

Ответ: 1