Страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.10. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 9.12). Найдите угол между прямыми $SA$ и $BC$.

Рис. 9.12

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $AB = 1$.

Длина бокового ребра $SA = 2$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $SA$ и $BC$.

Решение:

Чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямыми, такими как $SA$ и $BC$, мы можем перенести одну из прямых параллельно себе так, чтобы она пересекала другую прямую. Угол между исходными скрещивающимися прямыми будет равен углу между получившимися пересекающимися прямыми.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $BC$ параллельна диагонали $AD$. Это свойство правильного шестиугольника: противоположные стороны параллельны, и параллельны также диагоналям, проходящим через центр.

Таким образом, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$.

Следовательно, угол между прямой $SA$ и прямой $BC$ равен углу между прямой $SA$ и прямой $AD$. Этот угол является углом $\angle SAD$ в треугольнике $SAD$.

Рассмотрим треугольник $SAD$:

• Длина ребра $SA$ дана по условию: $SA = 2$.

• Длина ребра $SD$ также является боковым ребром правильной пирамиды, поэтому $SD = SA = 2$.

• Длина отрезка $AD$ является длиной большой диагонали правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ длина большой диагонали равна $2a$. Поскольку сторона основания $AB = 1$, то $AD = 2 \times AB = 2 \times 1 = 2$.

Мы получили, что все стороны треугольника $SAD$ равны: $SA = SD = AD = 2$.

Треугольник, у которого все три стороны равны, является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, угол $\angle SAD = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

9.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $DE_1$;

в) $AB$ и $B_1C_1$;

г) $AB$ и $C_1D_1$;

д) $AC$ и $B_1C_1$;

е) $AC$ и $B_1D_1$;

ж) $AC$ и $B_1E_1$.

Рис. 9.13

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Угол между прямыми: а) $AA_1$ и $BC_1$; б) $AA_1$ и $DE_1$; в) $AB$ и $B_1C_1$; г) $AB$ и $C_1D_1$; д) $AC$ и $B_1C_1$; е) $AC$ и $B_1D_1$; ж) $AC$ и $B_1E_1$.

Решение

В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поскольку все ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$, а высота призмы $h=1$. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$:

• Внутренний угол равен $120^\circ$.

• Короткая диагональ (например, $AC$) равна $a\sqrt{3}$. Для $a=1$, $AC = \sqrt{3}$.

• Длинная диагональ (например, $AD$) равна $2a$. Для $a=1$, $AD = 2$.

Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из прямых и прямой, параллельной другой, проходящей через точку на первой прямой. Угол между прямыми всегда является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

а) $AA_1$ и $BC_1$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром, параллельным ребру $BB_1$. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми $BB_1$ и $BC_1$.

Рассмотрим боковую грань $BCC_1B_1$. Это квадрат, так как $BC=1$ и $BB_1=1$. Прямая $BC_1$ является диагональю этого квадрата.

В квадрате диагональ образует со сторонами угол $45^\circ$. Таким образом, угол между $BB_1$ и $BC_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) $AA_1$ и $DE_1$

Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$. Искомый угол равен углу между прямыми $DD_1$ и $DE_1$.

Рассмотрим боковую грань $DEE_1D_1$. Это квадрат, так как $DE=1$ и $DD_1=1$. Прямая $DE_1$ является диагональю этого квадрата.

Угол между $DD_1$ и $DE_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) $AB$ и $B_1C_1$

Прямая $AB$ лежит в нижнем основании, а прямая $B_1C_1$ — в верхнем.

Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $B_1C_1$.

Прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

Угол между прямыми берется как острый, поэтому $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

г) $AB$ и $C_1D_1$

Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$. Искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $C_1D_1$.

Прямые $A_1B_1$ и $C_1D_1$ являются сторонами правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Если рассматривать направление сторон шестиугольника, то направление стороны $C_1D_1$ получается из направления стороны $A_1B_1$ поворотом на $2 \times 60^\circ = 120^\circ$ (поскольку каждая следующая сторона повернута на $60^\circ$ относительно центра).

Угол между прямыми $A_1B_1$ и $C_1D_1$ равен $120^\circ$. Острый угол составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

д) $AC$ и $B_1C_1$

Прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$. Искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ в нижнем основании. $AB=1$, $BC=1$. $AC$ - короткая диагональ, ее длина $AC = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Внутренний угол шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC=1$. Углы при основании равны: $\angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Угол между прямыми $AC$ и $BC$ - это угол $\angle BCA = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

е) $AC$ и $B_1D_1$

Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$. Искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ являются короткими диагоналями в нижнем основании (правильном шестиугольнике). Длина каждой такой диагонали равна $\sqrt{3}$.

Для определения угла используем метод координат. Расположим центр шестиугольника в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин (сторона $a=1$, $A$ по оси $x$): $A=(1,0,0)$ $B=(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $C=(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $D=(-1,0,0)$

Вектор $\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|} = \frac{(-3/2)(-3/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9/4 - 3/4}{3} = \frac{6/4}{3} = \frac{3/2}{3} = 1/2$.

Следовательно, $\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) $AC$ и $B_1E_1$

Прямая $B_1E_1$ параллельна прямой $BE$. Искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BE$.

Прямая $AC$ - короткая диагональ, ее длина $AC = \sqrt{3}$.

Прямая $BE$ - длинная диагональ, ее длина $BE = 2a = 2 \times 1 = 2$.

Используем те же координаты вершин: $A=(1,0,0)$, $C=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{AC} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BE} = E - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3/2)(-1) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) = 3/2 - 3/2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно 0, векторы (и, следовательно, прямые) перпендикулярны.

Таким образом, угол между прямыми $AC$ и $BE$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

9.12. В кубе $ABCD_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$ (рис. 9.14). Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Рис. 9.14

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$. Точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$. Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в безразмерном или относительном виде, что не требует перевода в систему СИ для вычисления косинуса угла.

Найти

Косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$, то есть $\cos(\angle(AE, BF))$.

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты вершин куба с ребром $a=1$ будут:$A(0,0,0)$$B(1,0,0)$$C(1,1,0)$$D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$$B_1(1,0,1)$$C_1(1,1,1)$$D_1(0,1,1)$

Найдем координаты точек $E$ и $F$.Точка $E$ является серединой ребра $A_1B_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $B_1(1,0,1)$.Координаты точки $E$: $E = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Точка $F$ является серединой ребра $B_1C_1$. Координаты $B_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$.Координаты точки $F$: $F = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$.Вектор $\vec{AE}$: $A(0,0,0)$, $E\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.$\vec{AE} = E - A = \left(\frac{1}{2}-0, 0-0, 1-0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Вектор $\vec{BF}$: $B(1,0,0)$, $F\left(1, \frac{1}{2}, 1\right)$.$\vec{BF} = F - B = \left(1-1, \frac{1}{2}-0, 1-0\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используем формулу скалярного произведения:$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$:$\vec{AE} \cdot \vec{BF} = \left(\frac{1}{2}\right)(0) + (0)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$:$|\vec{AE}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$|\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь вычислим косинус угла $\theta$ между прямыми $AE$ и $BF$:$\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{BF}}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{BF}|} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $4/5$

9.13. В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $CD$ (рис. 9.15). Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BC$.

Дано:
Тетраэдр $ABCD$.
Все ребра равны $1$.
Точка $E$ — середина ребра $CD$.

Найти:
Косинус угла между прямыми $AE$ и $BC$.

Решение:
Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. Поскольку все его ребра равны $1$, он является правильным тетраэдром.
Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$. Тогда векторы, исходящие из $A$ к другим вершинам, будут $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.
Длины этих векторов равны $1$, так как они соответствуют ребрам тетраэдра:
$|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = 1$.
В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, поэтому углы между любыми двумя векторами, исходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.
Следовательно, скалярные произведения этих векторов равны:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Аналогично, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}$ и $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}$.

Выразим векторы $\vec{AE}$ и $\vec{BC}$:
Поскольку точка $E$ является серединой ребра $CD$, вектор $\vec{AE}$ можно представить как полусумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:
$\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})$.
Вектор $\vec{BC}$ можно найти как разность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$:
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BC}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$
$= \frac{1}{2} (\vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB})$.
Так как $\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = 1^2 = 1$, подставим известные значения скалярных произведений:
$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$
$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем длины векторов $|\vec{AE}|$ и $|\vec{BC}|$.
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине ребра тетраэдра:
$|\vec{BC}| = 1$.
Длина вектора $\vec{AE}$. Треугольник $ACD$ является равносторонним со стороной $1$. $AE$ является медианой этого треугольника, опущенной на сторону $CD$. Длина медианы $m$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае $a=1$, поэтому:
$|\vec{AE}| = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AE$ и $BC$ определяется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{BC}|}{|\vec{AE}| |\vec{BC}|}$.
Подставляем найденные значения:
$\cos \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ:
$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Рис. 9.16

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Найти:

Тангенс угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Решение:

Для нахождения угла между прямыми воспользуемся методом координат.

Разместим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$.

Тогда координаты вершин основания $ABCD$ будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$ (так как $AB=1$ и $AB$ вдоль оси $Ox$)

$D = (0,1,0)$ (так как $AD=1$ и $AD$ вдоль оси $Oy$)

$C = (1,1,0)$ (так как $ABCD$ - квадрат)

Найдем координаты вершины $S$. Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ (где $O$ - центр основания) перпендикулярна плоскости основания. $O$ является серединой диагонали $AC$.

Координаты центра основания $O$: $O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Длина диагонали основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Длина отрезка $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SOA$ (или $SOC$), где $SA$ - гипотенуза.

$SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, координаты вершины $S$: $S = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Теперь найдем координаты точки $E$, которая является серединой ребра $SC$.

$S = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $C = (1,1,0)$.

$E = \left(\frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(\frac{\frac{3}{2}}{2}, \frac{\frac{3}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Найдем векторы направлений для прямых $SA$ и $BE$.

Вектор $\vec{u}$ для прямой $SA$: $\vec{u} = \vec{AS} = S - A = \left(\frac{1}{2}-0, \frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{2}}{2}-0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вектор $\vec{v}$ для прямой $BE$: $\vec{v} = \vec{BE} = E - B = \left(\frac{3}{4}-1, \frac{3}{4}-0, \frac{\sqrt{2}}{4}-0\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя прямыми (или их направляющими векторами) вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{-1+3+2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Вычислим длины (модули) векторов $||\vec{u}||$ и $||\vec{v}||$:

$||\vec{u}|| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

$||\vec{v}|| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{\left|\frac{1}{2}\right|}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Нам нужно найти тангенс угла $\theta$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$.

$\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1$.

$\cos^2 \theta = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

$\tan^2 \theta = \frac{1}{\frac{1}{3}} - 1 = 3 - 1 = 2$.

Так как угол между прямыми по определению является острым ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$), то $\tan \theta$ должен быть положительным.

$\tan \theta = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\sqrt{2}$