Номер 9.12, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.12. В кубе $ABCD_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$ (рис. 9.14). Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Рис. 9.14

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$. Точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$. Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в безразмерном или относительном виде, что не требует перевода в систему СИ для вычисления косинуса угла.

Найти

Косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$, то есть $\cos(\angle(AE, BF))$.

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты вершин куба с ребром $a=1$ будут:$A(0,0,0)$$B(1,0,0)$$C(1,1,0)$$D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$$B_1(1,0,1)$$C_1(1,1,1)$$D_1(0,1,1)$

Найдем координаты точек $E$ и $F$.Точка $E$ является серединой ребра $A_1B_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $B_1(1,0,1)$.Координаты точки $E$: $E = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Точка $F$ является серединой ребра $B_1C_1$. Координаты $B_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$.Координаты точки $F$: $F = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$.Вектор $\vec{AE}$: $A(0,0,0)$, $E\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.$\vec{AE} = E - A = \left(\frac{1}{2}-0, 0-0, 1-0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Вектор $\vec{BF}$: $B(1,0,0)$, $F\left(1, \frac{1}{2}, 1\right)$.$\vec{BF} = F - B = \left(1-1, \frac{1}{2}-0, 1-0\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используем формулу скалярного произведения:$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$:$\vec{AE} \cdot \vec{BF} = \left(\frac{1}{2}\right)(0) + (0)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$:$|\vec{AE}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$|\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь вычислим косинус угла $\theta$ между прямыми $AE$ и $BF$:$\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{BF}}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{BF}|} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $4/5$