Номер 9.14, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 9.16

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Найти:

Тангенс угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Решение:

Для нахождения угла между прямыми воспользуемся методом координат.

Разместим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$.

Тогда координаты вершин основания $ABCD$ будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$ (так как $AB=1$ и $AB$ вдоль оси $Ox$)

$D = (0,1,0)$ (так как $AD=1$ и $AD$ вдоль оси $Oy$)

$C = (1,1,0)$ (так как $ABCD$ - квадрат)

Найдем координаты вершины $S$. Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ (где $O$ - центр основания) перпендикулярна плоскости основания. $O$ является серединой диагонали $AC$.

Координаты центра основания $O$: $O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Длина диагонали основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Длина отрезка $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SOA$ (или $SOC$), где $SA$ - гипотенуза.

$SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, координаты вершины $S$: $S = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Теперь найдем координаты точки $E$, которая является серединой ребра $SC$.

$S = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $C = (1,1,0)$.

$E = \left(\frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(\frac{\frac{3}{2}}{2}, \frac{\frac{3}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Найдем векторы направлений для прямых $SA$ и $BE$.

Вектор $\vec{u}$ для прямой $SA$: $\vec{u} = \vec{AS} = S - A = \left(\frac{1}{2}-0, \frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{2}}{2}-0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вектор $\vec{v}$ для прямой $BE$: $\vec{v} = \vec{BE} = E - B = \left(\frac{3}{4}-1, \frac{3}{4}-0, \frac{\sqrt{2}}{4}-0\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя прямыми (или их направляющими векторами) вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{-1+3+2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Вычислим длины (модули) векторов $||\vec{u}||$ и $||\vec{v}||$:

$||\vec{u}|| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

$||\vec{v}|| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{\left|\frac{1}{2}\right|}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Нам нужно найти тангенс угла $\theta$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$.

$\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1$.

$\cos^2 \theta = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

$\tan^2 \theta = \frac{1}{\frac{1}{3}} - 1 = 3 - 1 = 2$.

Так как угол между прямыми по определению является острым ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$), то $\tan \theta$ должен быть положительным.

$\tan \theta = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\sqrt{2}$