Номер 9.16, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 9.12). Найдите косинус угла между прямыми:
а) $SA$ и $CD$;
б) $SA$ и $BD$.

Рис. 9.12

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Длина бокового ребра $l = 2$.

Найти:
а) $\cos(\angle (SA, CD))$
б) $\cos(\angle (SA, BD))$

Решение:

а) SA и CD
Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $CD$, перенесем прямую $CD$ так, чтобы она проходила через точку $A$.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $AF$.
Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $CD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AF$, то есть $\angle SAF$.
Рассмотрим треугольник $SAF$.
Длины сторон треугольника $SAF$:
$SA = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$SF = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$AF = a = 1$ (сторона основания шестиугольника).
Используем теорему косинусов для треугольника $SAF$ для нахождения $\cos(\angle SAF)$:
$SF^2 = SA^2 + AF^2 - 2 \cdot SA \cdot AF \cdot \cos(\angle SAF)$
$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAF)$
$4 = 4 + 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAF)$
$0 = 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAF)$
$4 \cdot \cos(\angle SAF) = 1$
$\cos(\angle SAF) = \frac{1}{4}$

Ответ: $\cos(\angle (SA, CD)) = \frac{1}{4}$

б) SA и BD
Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BD$, перенесем прямую $BD$ так, чтобы она проходила через точку $A$.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\vec{BD}$ параллелен вектору $\vec{AE}$.
Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $BD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AE$, то есть $\angle SAE$.
Рассмотрим треугольник $SAE$.
Длины сторон треугольника $SAE$:
$SA = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$SE = l = 2$ (боковое ребро пирамиды).
$AE$ - это малая диагональ правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
$AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Используем теорему косинусов для треугольника $SAE$ для нахождения $\cos(\angle SAE)$:
$SE^2 = SA^2 + AE^2 - 2 \cdot SA \cdot AE \cdot \cos(\angle SAE)$
$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$
$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$
$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$
$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE) = 3$
$\cos(\angle SAE) = \frac{3}{4\sqrt{3}}$
Рационализируем знаменатель:
$\cos(\angle SAE) = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\cos(\angle (SA, BD)) = \frac{\sqrt{3}}{4}$