Номер 9.17, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 9.17

9.17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1

(рис. 9.13). Найдите косинус угла между прямыми:
а) $AB_1$ и $BC_1$;
б) $AB_1$ и $CD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

б) Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания призмы в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, длина стороны основания равна 1, а высота призмы также равна 1.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (с координатой $z=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Угол $\theta$ между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если линии являются скрещивающимися (не параллельными и не пересекающимися), то для нахождения угла между ними следует перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую. Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Мы берем модуль числителя, чтобы угол был острым (как обычно определяется угол между прямыми).

а) $AB_1$ и $BC_1$

Найдем направляющие векторы прямых:

Вектор $\vec{AB_1}$: $B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{BC_1}$: $C_1 - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1/2)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (1)(1) = 1/2 + 0 + 1 = 3/2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла $\theta_1$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$:

$\cos\theta_1 = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| |\vec{BC_1}|} = \frac{|3/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) $AB_1$ и $CD_1$

Направляющий вектор прямой $AB_1$ уже известен: $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем направляющий вектор прямой $CD_1$:

Вектор $\vec{CD_1}$: $D_1 - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (-1/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (1)(1) = 1/4 - 3/4 + 1 = -2/4 + 1 = -1/2 + 1 = 1/2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта а)).

$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла $\theta_2$ между прямыми $AB_1$ и $CD_1$:

$\cos\theta_2 = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1}|}{|\vec{AB_1}| |\vec{CD_1}|} = \frac{|1/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$