Номер 9.15, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.15. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все ребра равны 1, точка $D_1$ — середина ребра $B_1C_1$ (рис. 9.17). Найдите тангенс угла между прямыми $AD_1$ и $BB_1$.

Рис. 9.17

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Длины всех ребер равны 1: $AB=BC=CA=A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=AA_1=BB_1=CC_1=1$. Точка $D_1$ — середина ребра $B_1 C_1$.

Поскольку все длины заданы в одних и тех же условных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Тангенс угла между прямыми $AD_1$ и $BB_1$.

Решение

Для того чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $BB_1$, мы можем заменить одну из прямых на параллельную ей прямую, которая пересекает другую прямую. В данной призме боковые ребра параллельны друг другу. В частности, прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$. Следовательно, угол между прямыми $AD_1$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $AD_1$ и $AA_1$. Обозначим искомый угол как $\alpha$, то есть $\alpha = \angle (AD_1, BB_1) = \angle (AD_1, AA_1)$. Этот угол является углом $\angle A_1AD_1$ в треугольнике $A A_1 D_1$.

Рассмотрим треугольник $A A_1 D_1$. Так как $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, оно перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Отрезок $A_1D_1$ лежит в плоскости основания $A_1B_1C_1$. Из этого следует, что $AA_1 \perp A_1D_1$. Таким образом, треугольник $A A_1 D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

Тангенс угла $\angle A_1AD_1$ в прямоугольном треугольнике $A A_1 D_1$ определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета: $\tan(\angle A_1AD_1) = \frac{A_1D_1}{AA_1}$.

По условию задачи, длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, $AA_1 = 1$.

Теперь найдем длину отрезка $A_1D_1$. Основание призмы $A_1B_1C_1$ является равносторонним треугольником со стороной, равной 1 (так как все ребра равны 1). Точка $D_1$ является серединой ребра $B_1C_1$. Таким образом, $A_1D_1$ является медианой, проведенной из вершины $A_1$ к стороне $B_1C_1$ в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Значит, $A_1D_1 \perp B_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1D_1B_1$ (с прямым углом при $D_1$). Гипотенуза $A_1B_1 = 1$. Катет $B_1D_1 = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Используем теорему Пифагора для нахождения $A_1D_1$: $A_1D_1^2 + B_1D_1^2 = A_1B_1^2$ $A_1D_1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1^2$ $A_1D_1^2 + \frac{1}{4} = 1$ $A_1D_1^2 = 1 - \frac{1}{4}$ $A_1D_1^2 = \frac{3}{4}$ $A_1D_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим значения $A_1D_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $AA_1 = 1$ в формулу для тангенса: $\tan(\angle A_1AD_1) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$.