Номер 9.13, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.13. В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $CD$ (рис. 9.15). Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BC$.

Дано:
Тетраэдр $ABCD$.
Все ребра равны $1$.
Точка $E$ — середина ребра $CD$.

Найти:
Косинус угла между прямыми $AE$ и $BC$.

Решение:
Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. Поскольку все его ребра равны $1$, он является правильным тетраэдром.
Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$. Тогда векторы, исходящие из $A$ к другим вершинам, будут $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.
Длины этих векторов равны $1$, так как они соответствуют ребрам тетраэдра:
$|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = 1$.
В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, поэтому углы между любыми двумя векторами, исходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.
Следовательно, скалярные произведения этих векторов равны:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Аналогично, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}$ и $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}$.

Выразим векторы $\vec{AE}$ и $\vec{BC}$:
Поскольку точка $E$ является серединой ребра $CD$, вектор $\vec{AE}$ можно представить как полусумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:
$\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})$.
Вектор $\vec{BC}$ можно найти как разность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$:
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BC}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$
$= \frac{1}{2} (\vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB})$.
Так как $\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = 1^2 = 1$, подставим известные значения скалярных произведений:
$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$
$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем длины векторов $|\vec{AE}|$ и $|\vec{BC}|$.
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине ребра тетраэдра:
$|\vec{BC}| = 1$.
Длина вектора $\vec{AE}$. Треугольник $ACD$ является равносторонним со стороной $1$. $AE$ является медианой этого треугольника, опущенной на сторону $CD$. Длина медианы $m$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае $a=1$, поэтому:
$|\vec{AE}| = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AE$ и $BC$ определяется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{BC}|}{|\vec{AE}| |\vec{BC}|}$.
Подставляем найденные значения:
$\cos \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ:
$\frac{\sqrt{3}}{6}$