Номер 9.9, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.9. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$ (рис. 9.11). Найдите угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Рис. 9.11

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Длины всех ребер равны 1, то есть $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.
Точка $E$ — середина ребра $SC$.

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется, так как заданы безразмерные длины ребер.

Найти:
Угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Решение:

Построение и анализ:
Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, ее основание $ABCD$ является квадратом. Следовательно, сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$).
Угол между двумя скрещивающимися прямыми (в данном случае $AD$ и $BE$) равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой и пересекающей первую. В данном случае, так как $AD \parallel BC$, угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен углу между прямыми $BC$ и $BE$. Этот угол является углом $\angle CBE$ в треугольнике $BCE$.

Определение свойств треугольника SBC и его элементов:
Рассмотрим боковую грань $\triangle SBC$. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, $SB = BC = SC = 1$.
Таким образом, треугольник $SBC$ является равносторонним.
Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Это означает, что отрезок $BE$ является медианой, проведенной из вершины $B$ к стороне $SC$ в равностороннем треугольнике $SBC$.
В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой к этой стороне. Следовательно, $BE \perp SC$. Это означает, что треугольник $BCE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.
Длину медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = BC = 1$, поэтому длина отрезка $BE$ равна $BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрение треугольника BCE:
Из предыдущего пункта мы установили, что $\triangle BCE$ — прямоугольный треугольник, с прямым углом при вершине $E$.
Длины его сторон:

• $BC = 1$ (гипотенуза)
• $EC = \frac{SC}{2} = \frac{1}{2}$ (катет)
• $BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (катет)

Ответ:
Угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен $30^\circ$.