Номер 9.11, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $DE_1$;

в) $AB$ и $B_1C_1$;

г) $AB$ и $C_1D_1$;

д) $AC$ и $B_1C_1$;

е) $AC$ и $B_1D_1$;

ж) $AC$ и $B_1E_1$.

Рис. 9.13

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Угол между прямыми: а) $AA_1$ и $BC_1$; б) $AA_1$ и $DE_1$; в) $AB$ и $B_1C_1$; г) $AB$ и $C_1D_1$; д) $AC$ и $B_1C_1$; е) $AC$ и $B_1D_1$; ж) $AC$ и $B_1E_1$.

Решение

В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поскольку все ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$, а высота призмы $h=1$. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$:

• Внутренний угол равен $120^\circ$.

• Короткая диагональ (например, $AC$) равна $a\sqrt{3}$. Для $a=1$, $AC = \sqrt{3}$.

• Длинная диагональ (например, $AD$) равна $2a$. Для $a=1$, $AD = 2$.

Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из прямых и прямой, параллельной другой, проходящей через точку на первой прямой. Угол между прямыми всегда является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

а) $AA_1$ и $BC_1$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром, параллельным ребру $BB_1$. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми $BB_1$ и $BC_1$.

Рассмотрим боковую грань $BCC_1B_1$. Это квадрат, так как $BC=1$ и $BB_1=1$. Прямая $BC_1$ является диагональю этого квадрата.

В квадрате диагональ образует со сторонами угол $45^\circ$. Таким образом, угол между $BB_1$ и $BC_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) $AA_1$ и $DE_1$

Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$. Искомый угол равен углу между прямыми $DD_1$ и $DE_1$.

Рассмотрим боковую грань $DEE_1D_1$. Это квадрат, так как $DE=1$ и $DD_1=1$. Прямая $DE_1$ является диагональю этого квадрата.

Угол между $DD_1$ и $DE_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) $AB$ и $B_1C_1$

Прямая $AB$ лежит в нижнем основании, а прямая $B_1C_1$ — в верхнем.

Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $B_1C_1$.

Прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

Угол между прямыми берется как острый, поэтому $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

г) $AB$ и $C_1D_1$

Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$. Искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $C_1D_1$.

Прямые $A_1B_1$ и $C_1D_1$ являются сторонами правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Если рассматривать направление сторон шестиугольника, то направление стороны $C_1D_1$ получается из направления стороны $A_1B_1$ поворотом на $2 \times 60^\circ = 120^\circ$ (поскольку каждая следующая сторона повернута на $60^\circ$ относительно центра).

Угол между прямыми $A_1B_1$ и $C_1D_1$ равен $120^\circ$. Острый угол составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

д) $AC$ и $B_1C_1$

Прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$. Искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ в нижнем основании. $AB=1$, $BC=1$. $AC$ - короткая диагональ, ее длина $AC = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Внутренний угол шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC=1$. Углы при основании равны: $\angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Угол между прямыми $AC$ и $BC$ - это угол $\angle BCA = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

е) $AC$ и $B_1D_1$

Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$. Искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ являются короткими диагоналями в нижнем основании (правильном шестиугольнике). Длина каждой такой диагонали равна $\sqrt{3}$.

Для определения угла используем метод координат. Расположим центр шестиугольника в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин (сторона $a=1$, $A$ по оси $x$): $A=(1,0,0)$ $B=(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $C=(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $D=(-1,0,0)$

Вектор $\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|} = \frac{(-3/2)(-3/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9/4 - 3/4}{3} = \frac{6/4}{3} = \frac{3/2}{3} = 1/2$.

Следовательно, $\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) $AC$ и $B_1E_1$

Прямая $B_1E_1$ параллельна прямой $BE$. Искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BE$.

Прямая $AC$ - короткая диагональ, ее длина $AC = \sqrt{3}$.

Прямая $BE$ - длинная диагональ, ее длина $BE = 2a = 2 \times 1 = 2$.

Используем те же координаты вершин: $A=(1,0,0)$, $C=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{AC} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BE} = E - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3/2)(-1) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) = 3/2 - 3/2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно 0, векторы (и, следовательно, прямые) перпендикулярны.

Таким образом, угол между прямыми $AC$ и $BE$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$