Номер 9.8, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 9.10). Найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $SC$;

б) $SB$ и $SD$.

Рис. 9.10

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

a) Угол между прямыми $AB$ и $SC$.

б) Угол между прямыми $SB$ и $SD$.

Решение

a) AB и SC

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной пирамидой, ее основание $ABCD$ представляет собой квадрат. В квадрате противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$ ($AB \parallel DC$).

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $SC$ определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой и пересекающей первую. В данном случае, так как $AB \parallel DC$, угол между прямыми $AB$ и $SC$ равен углу между прямыми $DC$ и $SC$. Этот угол является $\angle SCD$.

Рассмотрим треугольник $SDC$. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что $SD = SC = DC = 1$.

Так как все стороны треугольника $SDC$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$.

Следовательно, угол $\angle SCD = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) SB и SD

Для нахождения угла между прямыми $SB$ и $SD$ рассмотрим треугольник $SBD$. Искомый угол – это $\angle BSD$.

По условию задачи, длины боковых ребер $SB$ и $SD$ равны 1 ($SB = SD = 1$).

Определим длину стороны $BD$. Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Поскольку основание $ABCD$ - квадрат со стороной, равной 1 ($BC = CD = 1$), мы можем найти длину диагонали $BD$ с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCD$ ($ \angle BCD = 90^\circ $):

$BD^2 = BC^2 + CD^2$

$BD^2 = 1^2 + 1^2$

$BD^2 = 1 + 1$

$BD^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

Теперь, зная длины всех сторон треугольника $SBD$ ($SB=1$, $SD=1$, $BD=\sqrt{2}$), мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла $\angle BSD$. Пусть $\theta = \angle BSD$.

$BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos \theta$

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta$

$2 = 1 + 1 - 2 \cos \theta$

$2 = 2 - 2 \cos \theta$

Вычитаем 2 из обеих частей уравнения:

$0 = -2 \cos \theta$

Разделим обе части на $-2$:

$\cos \theta = 0$

Угол, косинус которого равен 0, это $90^\circ$.

$\theta = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.