Номер 9.6, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.6. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AC$ и $B_1D_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$;

в) $AB_1$ и $BC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в систему СИ не требуется, так как отсутствуют числовые значения и единицы измерения.

Найти: Угол между прямыми:

a) $AC$ и $B_1D_1$;

б) $AB$ и $BC_1$;

в) $AB_1$ и $BC_1$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$.

a) $AC$ и $B_1D_1$

Прямая $AC$ является диагональю нижнего основания куба $ABCD$. Прямая $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

Плоскость нижнего основания $ABCD$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

Диагональ $B_1D_1$ в верхнем основании параллельна диагонали $BD$ в нижнем основании, то есть $B_1D_1 \parallel BD$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ являются диагоналями квадрата $ABCD$. Известно, что диагонали квадрата перпендикулярны.

Таким образом, угол между $AC$ и $B_1D_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) $AB$ и $BC_1$

Прямые $AB$ и $BC_1$ имеют общую точку $B$.

Рассмотрим грань $ABCD$. Так как это квадрат (основание куба), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, то есть $AB \perp BC$.

Кроме того, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (боковая грань куба), так как $AB$ перпендикулярно $BC$ и $BB_1$ (ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$ и проходит через точку $B$.

Следовательно, $AB \perp BC_1$.

Таким образом, угол между $AB$ и $BC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

в) $AB_1$ и $BC_1$

Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися прямыми.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми, перенесем одну из них параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую.

Рассмотрим прямую $AD_1$. Она является диагональю грани $ADD_1A_1$.В кубе противоположные грани параллельны и равны. Грань $BCC_1B_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$.Рассмотрим векторы: пусть $A$ - начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут: $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, $A_1=(0,0,a)$, $B_1=(a,0,a)$, $C_1=(a,a,a)$, $D_1=(0,a,a)$.

Вектор $\vec{BC_1} = C_1 - B = (a-a, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Поскольку векторы $\vec{BC_1}$ и $\vec{AD_1}$ равны, прямые $BC_1$ и $AD_1$ параллельны.

Таким образом, угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $AD_1$. Эти прямые имеют общую точку $A$ и образуют треугольник $AB_1D_1$.

Рассмотрим длины сторон треугольника $AB_1D_1$:

• Длина отрезка $AB_1$ (диагональ грани $ABB_1A_1$): $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Длина отрезка $AD_1$ (диагональ грани $ADD_1A_1$): $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Длина отрезка $B_1D_1$ (диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$): $B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Все стороны треугольника $AB_1D_1$ равны $a\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $AB_1D_1$ является равносторонним.

Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Таким образом, угол $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$