Страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.2. Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

Решение

В евклидовой геометрии действует аксиома (или теорема), которая утверждает, что через любую заданную точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Этот принцип является фундаментальным в планиметрии.

Предположим, у нас есть прямая $l$ и точка $A$, которая не лежит на этой прямой $l$.

Если мы попытаемся построить прямую, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $l$, то такая прямая будет единственной. Любая другая прямая, проходящая через точку $A$, не будет перпендикулярна прямой $l$, или же не будет проходить через точку $A$, будучи перпендикулярной прямой $l$.

Это свойство является одним из краеугольных камней построения перпендикуляров в геометрии.

Ответ: Одну.

9.3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для пространства?

Дано:

утверждение: на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. данное утверждение верно на плоскости.

Найти:

верно ли данное утверждение для пространства.

Решение:

Рассмотрим данное утверждение в трехмерном пространстве. Пусть дана прямая $c$. Рассмотрим две другие прямые $l_1$ и $l_2$, каждая из которых перпендикулярна прямой $c$. То есть $l_1 \perp c$ и $l_2 \perp c$.

В пространстве прямые $l_1$ и $l_2$ не обязательно будут параллельны.

Приведем контрпример:

Пусть прямая $c$ совпадает с осью $Oz$ декартовой системы координат.

Рассмотрим прямую $l_1$, совпадающую с осью $Ox$. Прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $c$ (так как ось $Ox$ перпендикулярна оси $Oz$).

Рассмотрим прямую $l_2$, совпадающую с осью $Oy$. Прямая $l_2$ перпендикулярна прямой $c$ (так как ось $Oy$ перпендикулярна оси $Oz$).

Однако прямые $l_1$ (ось $Ox$) и $l_2$ (ось $Oy$) не являются параллельными; они пересекаются в начале координат под углом $90^\circ$.

Таким образом, две прямые в пространстве, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, могут пересекаться, быть параллельными или быть скрещивающимися.

Поскольку существуют случаи, когда они не параллельны, исходное утверждение неверно для пространства.

Ответ:

Нет, это утверждение неверно для пространства.

9.4. Для куба $ABCD_1B_1C_1D_1$ укажите ребра, перпендикулярные ребру $AB$ (рис. 9.8).

Рис. 9.8

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Ребра, перпендикулярные ребру $AB$.

Решение:

Ребра куба перпендикулярны, если они пересекаются и образуют прямой угол, или если они не пересекаются, но лежат на перпендикулярных прямых (скрещивающиеся перпендикулярные прямые).

Перечислим ребра, перпендикулярные ребру $AB$:

1. Ребра, выходящие из вершины $A$ и перпендикулярные $AB$:

• Ребро $AD$: оно лежит в той же плоскости, что и $AB$ (плоскость основания $ABCD$), и составляет с $AB$ прямой угол, так как $ABCD$ — квадрат.

• Ребро $AA_1$: оно перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, в которой лежит ребро $AB$, следовательно, $AA_1 \perp AB$.

2. Ребра, выходящие из вершины $B$ и перпендикулярные $AB$:

• Ребро $BC$: оно лежит в той же плоскости, что и $AB$ (плоскость основания $ABCD$), и составляет с $AB$ прямой угол, так как $ABCD$ — квадрат.

• Ребро $BB_1$: оно перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, в которой лежит ребро $AB$, следовательно, $BB_1 \perp AB$.

3. Ребра, не пересекающие $AB$, но перпендикулярные ему:

• Ребро $A_1D_1$: оно параллельно ребру $AD$. Так как $AD \perp AB$, то и $A_1D_1 \perp AB$.

• Ребро $B_1C_1$: оно параллельно ребру $BC$. Так как $BC \perp AB$, то и $B_1C_1 \perp AB$.

• Ребро $DD_1$: оно параллельно ребру $AA_1$. Так как $AA_1 \perp AB$, то и $DD_1 \perp AB$.

• Ребро $CC_1$: оно параллельно ребру $BB_1$. Так как $BB_1 \perp AB$, то и $CC_1 \perp AB$.

Таким образом, ребрами, перпендикулярными ребру $AB$, являются $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$, $A_1D_1$, $B_1C_1$, $CC_1$, $DD_1$.

Ответ: Ребра, перпендикулярные ребру $AB$, это $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$, $A_1D_1$, $B_1C_1$, $CC_1$, $DD_1$.

9.5. Для правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ укажите ребра, перпендикулярные ребру $BB_1$ (рис. 9.9).

Решение

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны плоскостям оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Ребро $BB_1$ является боковым ребром. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости нижнего основания $ABC$. В этой плоскости через точку $B$ проходят ребра $AB$ и $BC$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $AB$ и ребру $BC$.

Аналогично, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. В этой плоскости через точку $B_1$ проходят ребра $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$ и ребру $B_1C_1$.

Ответ:

Ребра $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$.

9.6. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AC$ и $B_1D_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$;

в) $AB_1$ и $BC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в систему СИ не требуется, так как отсутствуют числовые значения и единицы измерения.

Найти: Угол между прямыми:

a) $AC$ и $B_1D_1$;

б) $AB$ и $BC_1$;

в) $AB_1$ и $BC_1$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$.

a) $AC$ и $B_1D_1$

Прямая $AC$ является диагональю нижнего основания куба $ABCD$. Прямая $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

Плоскость нижнего основания $ABCD$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

Диагональ $B_1D_1$ в верхнем основании параллельна диагонали $BD$ в нижнем основании, то есть $B_1D_1 \parallel BD$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ являются диагоналями квадрата $ABCD$. Известно, что диагонали квадрата перпендикулярны.

Таким образом, угол между $AC$ и $B_1D_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) $AB$ и $BC_1$

Прямые $AB$ и $BC_1$ имеют общую точку $B$.

Рассмотрим грань $ABCD$. Так как это квадрат (основание куба), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, то есть $AB \perp BC$.

Кроме того, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (боковая грань куба), так как $AB$ перпендикулярно $BC$ и $BB_1$ (ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$ и проходит через точку $B$.

Следовательно, $AB \perp BC_1$.

Таким образом, угол между $AB$ и $BC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

в) $AB_1$ и $BC_1$

Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися прямыми.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми, перенесем одну из них параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую.

Рассмотрим прямую $AD_1$. Она является диагональю грани $ADD_1A_1$.В кубе противоположные грани параллельны и равны. Грань $BCC_1B_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$.Рассмотрим векторы: пусть $A$ - начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут: $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, $A_1=(0,0,a)$, $B_1=(a,0,a)$, $C_1=(a,a,a)$, $D_1=(0,a,a)$.

Вектор $\vec{BC_1} = C_1 - B = (a-a, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Поскольку векторы $\vec{BC_1}$ и $\vec{AD_1}$ равны, прямые $BC_1$ и $AD_1$ параллельны.

Таким образом, угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $AD_1$. Эти прямые имеют общую точку $A$ и образуют треугольник $AB_1D_1$.

Рассмотрим длины сторон треугольника $AB_1D_1$:

• Длина отрезка $AB_1$ (диагональ грани $ABB_1A_1$): $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Длина отрезка $AD_1$ (диагональ грани $ADD_1A_1$): $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Длина отрезка $B_1D_1$ (диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$): $B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Все стороны треугольника $AB_1D_1$ равны $a\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $AB_1D_1$ является равносторонним.

Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Таким образом, угол $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

9.7. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $CC_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$.

9.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны.

a) AB и CC₁

Дано: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Найти: угол между прямыми $AB$ и $CC_1$.

Решение

Правильная треугольная призма является прямой призмой, это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая $CC_1$ является боковым ребром, а прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $CC_1 \perp ABC$, а так как $AB \subset ABC$, то $CC_1 \perp AB$.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) AB и B₁C₁

Дано: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Найти: угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Решение

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$, необходимо найти прямую, параллельную одной из них, которая пересекает другую. В правильной треугольной призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются параллельными и конгруэнтными равносторонними треугольниками. Из этого следует, что сторона $B_1C_1$ верхнего основания параллельна соответствующей стороне $BC$ нижнего основания, то есть $B_1C_1 \parallel BC$.

Угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $BC$, так как прямая $BC$ параллельна $B_1C_1$ и пересекает прямую $AB$ в точке $B$.

Прямые $AB$ и $BC$ являются сторонами равностороннего треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle ABC = 60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

9.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 9.10). Найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $SC$;

б) $SB$ и $SD$.

Рис. 9.10

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

a) Угол между прямыми $AB$ и $SC$.

б) Угол между прямыми $SB$ и $SD$.

Решение

a) AB и SC

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной пирамидой, ее основание $ABCD$ представляет собой квадрат. В квадрате противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$ ($AB \parallel DC$).

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $SC$ определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой и пересекающей первую. В данном случае, так как $AB \parallel DC$, угол между прямыми $AB$ и $SC$ равен углу между прямыми $DC$ и $SC$. Этот угол является $\angle SCD$.

Рассмотрим треугольник $SDC$. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что $SD = SC = DC = 1$.

Так как все стороны треугольника $SDC$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$.

Следовательно, угол $\angle SCD = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) SB и SD

Для нахождения угла между прямыми $SB$ и $SD$ рассмотрим треугольник $SBD$. Искомый угол – это $\angle BSD$.

По условию задачи, длины боковых ребер $SB$ и $SD$ равны 1 ($SB = SD = 1$).

Определим длину стороны $BD$. Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Поскольку основание $ABCD$ - квадрат со стороной, равной 1 ($BC = CD = 1$), мы можем найти длину диагонали $BD$ с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCD$ ($ \angle BCD = 90^\circ $):

$BD^2 = BC^2 + CD^2$

$BD^2 = 1^2 + 1^2$

$BD^2 = 1 + 1$

$BD^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

Теперь, зная длины всех сторон треугольника $SBD$ ($SB=1$, $SD=1$, $BD=\sqrt{2}$), мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла $\angle BSD$. Пусть $\theta = \angle BSD$.

$BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos \theta$

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta$

$2 = 1 + 1 - 2 \cos \theta$

$2 = 2 - 2 \cos \theta$

Вычитаем 2 из обеих частей уравнения:

$0 = -2 \cos \theta$

Разделим обе части на $-2$:

$\cos \theta = 0$

Угол, косинус которого равен 0, это $90^\circ$.

$\theta = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

9.9. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$ (рис. 9.11). Найдите угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Рис. 9.11

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Длины всех ребер равны 1, то есть $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.
Точка $E$ — середина ребра $SC$.

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется, так как заданы безразмерные длины ребер.

Найти:
Угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Решение:

Построение и анализ:
Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, ее основание $ABCD$ является квадратом. Следовательно, сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$).
Угол между двумя скрещивающимися прямыми (в данном случае $AD$ и $BE$) равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой и пересекающей первую. В данном случае, так как $AD \parallel BC$, угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен углу между прямыми $BC$ и $BE$. Этот угол является углом $\angle CBE$ в треугольнике $BCE$.

Определение свойств треугольника SBC и его элементов:
Рассмотрим боковую грань $\triangle SBC$. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, $SB = BC = SC = 1$.
Таким образом, треугольник $SBC$ является равносторонним.
Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Это означает, что отрезок $BE$ является медианой, проведенной из вершины $B$ к стороне $SC$ в равностороннем треугольнике $SBC$.
В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой к этой стороне. Следовательно, $BE \perp SC$. Это означает, что треугольник $BCE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.
Длину медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = BC = 1$, поэтому длина отрезка $BE$ равна $BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрение треугольника BCE:
Из предыдущего пункта мы установили, что $\triangle BCE$ — прямоугольный треугольник, с прямым углом при вершине $E$.
Длины его сторон:

• $BC = 1$ (гипотенуза)
• $EC = \frac{SC}{2} = \frac{1}{2}$ (катет)
• $BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (катет)

Ответ:
Угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен $30^\circ$.