Страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.9. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ требуется указать линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Плоскость $\alpha = ABC_1$.
Плоскость $\beta = BCD_1$.

Найти:
Линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Решение:

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, необходимо определить две общие точки для этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, будет искомой линией пересечения.

1.Определение первой общей точки.

Рассмотрим точки, задающие данные плоскости: плоскость $ABC_1$ задана точками A, B, C_1; плоскость $BCD_1$ задана точками B, C, D_1. Точка B присутствует в обеих группах точек. Следовательно, точка B является общей для обеих плоскостей и лежит на линии их пересечения.

2.Определение второй общей точки.

Рассмотрим плоскость $ABC_1$. Эта плоскость содержит прямую $AB$ (которая является ребром нижней грани куба $ABCD$).

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, а ребро $CD$ параллельно ребру $C_1D_1$. Отсюда следует, что $AB \parallel C_1D_1$.

Точка $C_1$ является одной из точек, задающих плоскость $ABC_1$, и она не лежит на прямой $AB$. Через точку $C_1$ проходит прямая $C_1D_1$, которая, как мы установили, параллельна прямой $AB$.

Согласно теореме планиметрии: если плоскость содержит прямую $a$ и точку $M$, не лежащую на этой прямой, и через точку $M$ проходит прямая $b$, параллельная прямой $a$, то прямая $b$ целиком лежит в этой плоскости. Применяя эту теорему: прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC_1$, точка $C_1$ лежит в плоскости $ABC_1$, и прямая $C_1D_1$ проходит через $C_1$ и параллельна $AB$. Следовательно, прямая $C_1D_1$ целиком лежит в плоскости $ABC_1$. Это означает, что точка $D_1$ также лежит в плоскости $ABC_1$.

Теперь мы знаем, что плоскость $ABC_1$ фактически является плоскостью, проходящей через точки A, B, C_1, и $D_1$, то есть это плоскость $ABD_1C_1$.

Таким образом, нам нужно найти линию пересечения плоскостей $ABD_1C_1$ и $BCD_1$.

Проверим общие точки для этих двух плоскостей:
- Точка B принадлежит плоскости $ABD_1C_1$ и плоскости $BCD_1$.
- Точка $D_1$ принадлежит плоскости $ABD_1C_1$ (как показано выше) и плоскости $BCD_1$ (по определению).

Поскольку точки B и $D_1$ являются общими для обеих плоскостей, то линия, проходящая через них, является линией пересечения этих плоскостей. Это прямая $BD_1$.

Ответ: Прямая $BD_1$.

8.10. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Линию пересечения плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Решение

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Пусть $L$ – искомая линия пересечения.

1.Первая общая точка:

Плоскость $ABC_1$ задана точками $A$, $B$, $C_1$. Плоскость $BCD_1$ задана точками $B$, $C$, $D_1$. Очевидно, что точка $B$ принадлежит обеим плоскостям. Таким образом, $B \in L$.

2.Вторая общая точка:

Рассмотрим две параллельные плоскости: плоскость нижнего основания призмы ($ABCDEF$) и плоскость верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$).

Плоскость $ABC_1$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $AB$. Поскольку плоскости оснований параллельны, линия пересечения плоскости $ABC_1$ с плоскостью верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) должна быть параллельна прямой $AB$ и проходить через точку $C_1$ (так как $C_1$ лежит в плоскости $ABC_1$ и в плоскости верхнего основания). Назовем эту линию $l_1$.

Плоскость $BCD_1$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $BC$. Аналогично, линия пересечения плоскости $BCD_1$ с плоскостью верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) должна быть параллельна прямой $BC$ и проходить через точку $D_1$ (так как $D_1$ лежит в плоскости $BCD_1$ и в плоскости верхнего основания). Назовем эту линию $l_2$.

Искомая вторая общая точка двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$ будет точкой пересечения линий $l_1$ и $l_2$ в плоскости верхнего основания.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$, а высота призмы $h$. Разместим центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты соответствующих точек:

• $A=(a,0,0)$
• $B=(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C=(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие точки верхнего основания имеют z-координату $h$:

• $C_1=(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
• $D_1=(-a,0,h)$

Вектор, задающий направление линии $AB$: $\vec{v}_{AB} = B - A = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Линия $l_1$ проходит через $C_1$ и параллельна $\vec{v}_{AB}$. Параметрическое уравнение $l_1$: $P_1(t) = C_1 + t \cdot \vec{v}_{AB} = (-\frac{a}{2} - t\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} + t\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

Вектор, задающий направление линии $BC$: $\vec{v}_{BC} = C - B = (-a, 0, 0)$.

Линия $l_2$ проходит через $D_1$ и параллельна $\vec{v}_{BC}$. Параметрическое уравнение $l_2$: $P_2(u) = D_1 + u \cdot \vec{v}_{BC} = (-a - ua, 0, h)$.

Для нахождения точки пересечения приравняем соответствующие компоненты $x$ и $y$ (z-координата уже равна $h$):

$-\frac{a}{2} - t\frac{a}{2} = -a - ua \quad (*)$

$\frac{a\sqrt{3}}{2} + t\frac{a\sqrt{3}}{2} = 0 \quad (**)$

Из уравнения $(**)$: $\frac{a\sqrt{3}}{2}(1+t) = 0$. Поскольку $a \neq 0$, то $1+t = 0 \Rightarrow t = -1$.

Подставим $t=-1$ в уравнение $(*)$:$-\frac{a}{2} - (-1)\frac{a}{2} = -a - ua$$0 = -a - ua$$0 = a(-1-u)$$-1-u = 0 \Rightarrow u = -1$.

Теперь подставим $t=-1$ (или $u=-1$) обратно в параметрические уравнения для нахождения координат точки пересечения.Используя $P_1(t)$ с $t=-1$:$x = -\frac{a}{2} - (-1)\frac{a}{2} = 0$$y = \frac{a\sqrt{3}}{2} + (-1)\frac{a\sqrt{3}}{2} = 0$$z = h$

Таким образом, точка пересечения линий $l_1$ и $l_2$ – это точка с координатами $(0,0,h)$. Эта точка является центром верхнего основания призмы. Обозначим ее $O_1$.

Следовательно, вторая общая точка плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$ – это центр верхнего основания $O_1$.

Линия пересечения двух плоскостей проходит через две найденные общие точки: $B$ и $O_1$.

Ответ: Прямая $BO_1$.

8.11. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти:
Доказать, что плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$ параллельны.

Решение:
Для доказательства параллельности двух плоскостей достаточно показать, что их нормальные векторы параллельны.
Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$, а высота призмы равна $h$.
Координаты вершин правильного шестиугольника $ABCDEF$ в основании:
$A = (a, 0, 0)$
$B = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-a, 0, 0)$
$E = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь ту же $x, y$ координаты, но $z$ координата будет равна $h$:
$A_1 = (a, 0, h)$
$B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$C_1 = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$D_1 = (-a, 0, h)$
$E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$F_1 = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Плоскость $ABC_1$:
Эта плоскость определяется точками $A(a,0,0)$, $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:
$\vec{AB} = B - A = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{3a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & h \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = (\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot h - 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2})\vec{i} - (-\frac{a}{2} \cdot h - 0 \cdot (-\frac{3a}{2}))\vec{j} + (-\frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3a}{2}))\vec{k}$
$\vec{n_1} = (\frac{a\sqrt{3}h}{2})\vec{i} - (-\frac{ah}{2})\vec{j} + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2\sqrt{3}}{4})\vec{k}$
$\vec{n_1} = (\frac{a\sqrt{3}h}{2}, \frac{ah}{2}, \frac{2a^2\sqrt{3}}{4}) = (\frac{a\sqrt{3}h}{2}, \frac{ah}{2}, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$
Для упрощения, можно разделить компоненты на $\frac{a}{2}$:
$\vec{n_1}' = (\sqrt{3}h, h, a\sqrt{3})$

Плоскость $CD_1E_1$:
Эта плоскость определяется точками $C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D_1(-a, 0, h)$ и $E_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:
$\vec{CD_1} = D_1 - C = (-a - (-\frac{a}{2}), 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (0, -a\sqrt{3}, h)$
Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $CD_1E_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CD_1} \times \vec{CE_1}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{a}{2} & -\frac{a\sqrt{3}}{2} & h \\ 0 & -a\sqrt{3} & h \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = ((-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot h - h \cdot (-a\sqrt{3}))\vec{i} - (-\frac{a}{2} \cdot h - h \cdot 0)\vec{j} + (-\frac{a}{2} \cdot (-a\sqrt{3}) - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot 0)\vec{k}$
$\vec{n_2} = (-\frac{a\sqrt{3}h}{2} + a\sqrt{3}h)\vec{i} - (-\frac{ah}{2})\vec{j} + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})\vec{k}$
$\vec{n_2} = (\frac{a\sqrt{3}h}{2}, \frac{ah}{2}, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$
Для упрощения, можно разделить компоненты на $\frac{a}{2}$:
$\vec{n_2}' = (\sqrt{3}h, h, a\sqrt{3})$

Поскольку нормальные векторы $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$ равны (то есть параллельны), плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$ параллельны.

Ответ: Плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$ параллельны, так как их нормальные векторы равны (параллельны).

Рис. 8.8

8.12. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью (рис. 8.8), то их линии пересечения параллельны.

Дано:

Пусть даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $. Третья плоскость $ \gamma $ пересекает плоскость $ \alpha $ по прямой $ a $ и плоскость $ \beta $ по прямой $ b $.

Найти:

Доказать, что прямые $ a $ и $ b $ параллельны.

Решение:

1. Рассмотрим прямые $ a $ и $ b $. По определению линии пересечения двух плоскостей, прямая $ a $ является общей для плоскостей $ \alpha $ и $ \gamma $, следовательно, $ a \subset \alpha $ и $ a \subset \gamma $. Аналогично, прямая $ b $ является общей для плоскостей $ \beta $ и $ \gamma $, следовательно, $ b \subset \beta $ и $ b \subset \gamma $.

2. Из того, что $ a \subset \gamma $ и $ b \subset \gamma $, следует, что обе прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости $ \gamma $.

3. По условию задачи, плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Это означает, что они не имеют общих точек в пространстве.

4. Теперь предположим от противного, что прямые $ a $ и $ b $ не параллельны. Поскольку они лежат в одной плоскости $ \gamma $, это означает, что они пересекаются в некоторой точке, обозначим её $ K $.

5. Если точка $ K $ является точкой пересечения прямых $ a $ и $ b $, то $ K \in a $ и $ K \in b $. Поскольку $ a \subset \alpha $, то $ K \in \alpha $. Поскольку $ b \subset \beta $, то $ K \in \beta $.

6. Таким образом, точка $ K $ является общей точкой для плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $.

7. Однако это противоречит исходному условию, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, а значит, не имеют общих точек.

8. Следовательно, наше предположение о том, что прямые $ a $ и $ b $ пересекаются, неверно.

9. Поскольку прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости $ \gamma $ и при этом не пересекаются, по определению параллельных прямых они должны быть параллельны.

Ответ:

Прямые $ a $ и $ b $ параллельны.

8.13. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные плоскости.

Решение

Параллельные плоскости — это две плоскости, которые не пересекаются в пространстве, то есть не имеют общих точек. В реальном мире множество объектов имеют поверхности, которые можно идеализировать как параллельные плоскости. Такая идеализация позволяет применять геометрические принципы параллельных плоскостей для анализа и проектирования этих объектов.

Примеры таких объектов включают:

• Верхняя и нижняя поверхности стола.
• Пол и потолок комнаты.
• Противоположные грани куба, кирпича, книги или любого прямоугольного параллелепипеда.
• Страницы закрытой книги или стопка листов бумаги.
• Полки в шкафу или стеллаже.
• Две стороны доски или листа фанеры.
• Слои ламината или многослойного стекла.
• Верхняя и нижняя плоскости любого плоского листа материала, например, стекла, металла или пластика.

Ответ: Примерами реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные плоскости, служат пол и потолок комнаты, верхняя и нижняя поверхности стола, противоположные грани кирпича, страницы закрытой книги, а также полки в шкафу.

8.14. Повторите определение угла на плоскости.

Повторите определение угла на плоскости.

Решение

Угол на плоскости – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), исходящими из одной общей точки (вершины угла). Лучи делят плоскость на две части. Углом называют одну из этих частей, ограниченную лучами. Мерой угла является величина поворота одного луча относительно другого вокруг их общей вершины.

Ответ: Угол на плоскости – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной общей точки.

8.15. Попробуйте определить понятие угла в пространстве.

В пространстве понятие угла расширяется по сравнению с плоским случаем, поскольку объекты могут располагаться по-разному относительно друг друга. Различают несколько основных видов углов в пространстве.

Угол между двумя пересекающимися прямыми

Решение: если две прямые пересекаются в пространстве, они лежат в одной плоскости. Угол между ними определяется так же, как и на плоскости: это наименьший из углов, образованных этими прямыми при их пересечении. Если прямые перпендикулярны, угол равен $90^\circ$.

Ответ: угол $\alpha$ между двумя пересекающимися прямыми является неотрицательным и не превосходит прямого угла, т.е. $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ (или $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Решение: скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Чтобы определить угол между ними, необходимо провести через любую точку пространства прямую, параллельную одной из данных прямых, так чтобы она пересекала другую данную прямую. Угол между исходной прямой и проведенной параллельной прямой (которая теперь пересекает другую исходную прямую) и будет углом между скрещивающимися прямыми. Этот угол не зависит от выбора точки.

Ответ: угол $\alpha$ между двумя скрещивающимися прямыми является неотрицательным и не превосходит прямого угла, т.е. $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ (или $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол между прямой и плоскостью

Решение: угол между прямой и плоскостью определяется как угол между самой прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекция прямой на плоскость – это прямая, которая является множеством оснований перпендикуляров, опущенных из каждой точки данной прямой на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекция на плоскость является точкой, и угол между прямой и плоскостью считается $90^\circ$. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол равен $0^\circ$.

Ответ: угол $\theta$ между прямой и плоскостью является неотрицательным и не превосходит прямого угла, т.е. $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ (или $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол)

Решение: если две плоскости пересекаются, они образуют линию пересечения. Двугранный угол – это угол между двумя плоскостями. Чтобы его измерить, выберем любую точку на линии их пересечения. Из этой точки в каждой плоскости проведем луч, перпендикулярный линии пересечения. Угол между этими двумя лучами (лежащими в плоскостях и перпендикулярными линии пересечения) и есть линейный угол двугранного угла. Он является мерой двугранного угла. Если плоскости параллельны, двугранный угол равен $0^\circ$.

Ответ: угол $\phi$ между двумя плоскостями является неотрицательным и не превосходит $180^\circ$, т.е. $0^\circ \le \phi \le 180^\circ$ (или $0 \le \phi \le \pi$ радиан). Часто в задачах рассматривается наименьший из двух смежных двугранных углов, т.е. от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Телесный угол

Решение: телесный угол – это мера "раскрытия" конической поверхности или части пространства, ограниченной такой поверхностью. Он определяется как отношение площади $A$ части сферической поверхности, вырезанной этим углом, к квадрату радиуса $r$ сферы, центр которой совпадает с вершиной телесного угла. Формула для телесного угла $\Omega$: $\Omega = \frac{A}{r^2}$. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан (ср). Полный телесный угол вокруг точки составляет $4\pi$ стерадиан.

Ответ: телесный угол $\Omega$ измеряет "объемность" угла в трехмерном пространстве и выражается в стерадианах.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью данных прямых. Определите взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$:

A. $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

B. $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

C. $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

D. Нельзя определить.

2. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из трех параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости:

А. Одну. В. Две. С. Три. D. Шесть?

3. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из четырех параллельных прямых, никакие три из которых не лежат в одной плоскости:

А. Две. В. Три. С. Четыре. D. Шесть?

4. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых:

А. Параллельна им.

В. Пересекает их.

С. Совпадает с одной из них.

D. Скрещивается с одной из них?

5. Даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$, принадлежащая прямой $a$. Как расположена плоскость, проходящая через точку $A$ и прямую $b$ по отношению к проходящей через точку $A$ и прямую $b$ плоскости:

A. Прямая $a$ пересекает плоскость.

B. Прямая $a$ параллельна плоскости.

C. Прямая $a$ лежит в плоскости.

D. Нельзя определить?

6. Даны скрещивающиеся прямые $c$ и $d$ и точка $K$. Как относительно друг друга расположены плоскости, проходящие через точку $K$ и прямую $c$ и точку $K$ и прямую $d$:

A. Совпадают. В. Пересекаются.

C. Параллельны. D. Нельзя определить?

7. Плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Как расположены относительно друг друга плоскости $\alpha$ и $\beta$:

A. Параллельны. В. Совпадают.

C. Пересекаются. D. Нельзя определить?

8. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, параллельное ребру $AB$:

А. $CC_1$. В. $DD_1$. С. $B_1C_1$. D. $C_1D_1$.

9. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, параллельное ребру $B_1C_1$:

А. $AA_1$. В. $EF$. С. $C_1D_1$. D. $DE$.

10. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите прямую, параллельную линии пересечения плоскостей $SAB$ и $SDE$:

А. $BC$. В. $CF$. С. $AD$. D. $BE$.

11. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AA_1$:

А. $BC$. В. $BB_1$. С. $AB$. D. $A_1D_1$.

12. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AB$:

А. $CD$. В. $EF$. С. $DD_1$. D. $D_1E_1$.

13. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $SA$:

А. $AB$. В. $SC$. С. $SD$. D. $BC$.

14. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $BC$:

А. $DE$. В. $SB$. С. $SA$. D. $AF$.

15. Укажите плоскость, параллельную ребру $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

А. $ABC$. В. $ABC_1$. С. $BDA_1$. D. $BDD_1$.

16. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную прямой $BC_1$:

А. $ACD_1$. В. $ACB_1$. С. $ADB_1$. D. $CDA_1$.

17. Укажите плоскость, параллельную ребру $AF$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$:

А. $BEE_1$. В. $BDD_1$. С. $BCC_1$. D. $CEE_1$.

18. Укажите плоскость, параллельную ребру $CD$ правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$:

А. $SAB$. В. $SAF$. С. $SBC$. D. $SEF$.

19. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ACB_1$:

А. $ABC$. В. $ADD_1$. С. $DA_1C_1$. D. $BA_1D_1$.

20. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ADC_1$:

А. $EFA_1$. В. $BED_1$. С. $CFE_1$. D. $EFF_1$.

1. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью данных прямых. Определите взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$:

Если две прямые $a$ и $b$ параллельны, и плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, но не содержит прямую $b$, то прямая $b$ должна быть параллельна плоскости $\alpha$. Если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то она пересекала бы и прямую $a$ (так как $a$ лежит в $\alpha$ и параллельна $b$), что противоречило бы условию их параллельности. Если бы прямая $b$ лежала в плоскости $\alpha$, то плоскость $\alpha$ содержала бы обе параллельные прямые, что также противоречит условию "не совпадающая с плоскостью данных прямых". Следовательно, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: C

2. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из трех параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости:

Пусть даны три параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$, которые не лежат в одной плоскости. Каждая пара параллельных прямых, не совпадающих, определяет единственную плоскость. Поскольку никакие три прямые не лежат в одной плоскости, все плоскости, образованные парами, будут различными.

• Пара $(l_1, l_2)$ определяет плоскость $\alpha_1$.
• Пара $(l_1, l_3)$ определяет плоскость $\alpha_2$.
• Пара $(l_2, l_3)$ определяет плоскость $\alpha_3$.

Всего можно провести 3 такие плоскости.

Ответ: C

3. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из четырех параллельных прямых, никакие три из которых не лежат в одной плоскости:

Пусть даны четыре параллельные прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$, никакие три из которых не лежат в одной плоскости. Каждая пара этих прямых определяет единственную плоскость. Количество способов выбрать 2 прямые из 4 без учета порядка (сочетания) вычисляется по формуле $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае $n=4$ (количество прямых) и $k=2$ (количество прямых в паре).

$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Можно образовать следующие пары прямых, каждая из которых определяет уникальную плоскость:

• $(l_1, l_2)$
• $(l_1, l_3)$
• $(l_1, l_4)$
• $(l_2, l_3)$
• $(l_2, l_4)$
• $(l_3, l_4)$

Таким образом, можно провести 6 различных плоскостей.

Ответ: D

4. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, а через прямую $b$ проходит плоскость $\beta$. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, то их линия пересечения $l$ параллельна каждой из прямых $a$ и $b$. Это свойство в стереометрии гласит: если две параллельные прямые лежат в двух пересекающихся плоскостях (каждая в своей плоскости), то линия пересечения этих плоскостей параллельна обеим прямым.

Ответ: A

5. Даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$, принадлежащая прямой $a$. Как расположена прямая $a$ по отношению к проходящей через точку $A$ и прямую $b$ плоскости:

Пусть плоскость $\pi$ проходит через точку $A$ и прямую $b$. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $a$ по условию, и точка $A$ также принадлежит плоскости $\pi$ (по построению этой плоскости), это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\pi$ в точке $A$. Если бы прямая $a$ лежала в плоскости $\pi$, то прямые $a$ и $b$ были бы компланарны (лежали в одной плоскости $\pi$), что противоречит условию о том, что $a$ и $b$ являются скрещивающимися прямыми.

Ответ: A

6. Даны скрещивающиеся прямые $c$ и $d$ и точка $K$. Как относительно друг друга расположены плоскости, проходящие через точку $K$ и прямую $c$ и точку $K$ и прямую $d$:

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через точку $K$ и прямую $c$. Пусть $\beta$ — плоскость, проходящая через точку $K$ и прямую $d$. Обе плоскости $\alpha$ и $\beta$ содержат общую точку $K$. Поскольку прямые $c$ и $d$ скрещиваются (то есть они не параллельны и не пересекаются, а значит, не лежат в одной плоскости), то плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут совпадать. Так как они имеют общую точку $K$, они не могут быть параллельными. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой, которая проходит через точку $K$.

Ответ: B

7. Плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Как расположены относительно друг друга плоскости $\alpha$ и $\beta$:

Дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). Это означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\beta$.Также дано, что плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$. То есть $P \in a$ и $P \in \alpha$.Поскольку $P \in a$ и $a \parallel \beta$, то точка $P$ не принадлежит плоскости $\beta$ ($P \notin \beta$).Таким образом, плоскость $\alpha$ содержит точку $P$, которая не принадлежит плоскости $\beta$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут быть параллельными (если бы они были параллельны, то либо совпадали, либо не имели общих точек). Если бы они совпадали, то $P \in \beta$, что противоречит $P \notin \beta$. Если бы они были параллельны и не совпадали, то $P \notin \beta$ было бы верным, но не давало бы информацию о пересечении.Пример 1: $\beta$ — плоскость $z=0$. $a$ — прямая $x=0, z=1$. $a \parallel \beta$. Плоскость $\alpha$ — плоскость $y=0$. $\alpha$ пересекает $a$ в точке $(0,0,1)$. В этом случае $\alpha$ и $\beta$ пересекаются (по оси $x$).Пример 2: $\beta$ — плоскость $z=0$. $a$ — прямая $x=0, z=1$. $a \parallel \beta$. Плоскость $\alpha$ — плоскость $z=2$. $\alpha$ пересекает $a$ в точке $(0,0,2)$. В этом случае $\alpha$ и $\beta$ параллельны.Так как возможны оба случая (параллельны или пересекаются), взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$ нельзя однозначно определить.

Ответ: D

8. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, параллельное ребру $AB$:

В кубе противоположные ребра параллельны. Ребро $AB$ находится в нижней грани. Параллельными ему являются ребро $CD$ в той же грани, а также ребра $A_1B_1$ и $C_1D_1$ в верхней грани.Рассмотрим варианты:A. $CC_1$ — боковое ребро, перпендикулярно $AB$.B. $DD_1$ — боковое ребро, перпендикулярно $AB$.C. $B_1C_1$ — ребро верхней грани, перпендикулярно $AB$ (если $B_1C_1$ параллельно $BC$, а $BC$ перпендикулярно $AB$).D. $C_1D_1$ — ребро верхней грани, параллельное $AB$.

Ответ: D

9. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, параллельное ребру $B_1C_1$:

В правильной шестиугольной призме основания являются правильными шестиугольниками, а боковые грани — прямоугольниками.Ребро $B_1C_1$ находится в верхнем основании.Параллельными ему являются:1. Соответствующее ребро в нижнем основании: $BC$.2. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Таким образом, в нижнем основании $BC \parallel EF$.Следовательно, $B_1C_1 \parallel BC \parallel EF$.Рассмотрим варианты:A. $AA_1$ — боковое ребро, перпендикулярно основаниям, а значит, и $B_1C_1$.B. $EF$ — ребро нижнего основания, которое параллельно $BC$, а значит, и $B_1C_1$.C. $C_1D_1$ — смежное ребро в верхнем основании, не параллельное $B_1C_1$.D. $DE$ — ребро нижнего основания, не параллельное $B_1C_1$ (оно параллельно $AB$).

Ответ: B

10. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите прямую, параллельную линии пересечения плоскостей $SAB$ и $SDE$:

Линия пересечения двух плоскостей, содержащих общую точку (в данном случае, вершину $S$), проходит через эту точку.Плоскость $SAB$ содержит ребро $AB$. Плоскость $SDE$ содержит ребро $DE$.В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AB$ и $DE$ являются противоположными и, следовательно, параллельными ($AB \parallel DE$).Согласно свойству: если две плоскости пересекаются, и каждая из них содержит по одной параллельной прямой, то линия их пересечения параллельна этим прямым.Таким образом, линия пересечения плоскостей $SAB$ и $SDE$ (обозначим ее $l$) проходит через $S$ и параллельна $AB$ (и $DE$). То есть $l \parallel AB$.Нам нужно найти среди предложенных вариантов прямую, которая параллельна $AB$.Рассмотрим ребра и диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$:

• $AB \parallel DE$
• $BC \parallel EF$
• $CD \parallel FA$

Ответ: Нет правильного варианта среди предложенных.

11. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AA_1$:

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются (то есть не лежат в одной плоскости). Ребро $AA_1$ является вертикальным ребром куба.A. $BC$: Это ребро находится в нижнем основании. Оно не параллельно $AA_1$. Оно не пересекает $AA_1$ (так как $A \notin BC$). Также прямая $BC$ не лежит в одной плоскости с прямой $AA_1$ (плоскость $AA_1B_1B$ содержит $AA_1$, но не содержит $BC$, так как $C$ и $B_1$ не в этой плоскости). Следовательно, $BC$ скрещивается с $AA_1$.B. $BB_1$: Это ребро параллельно $AA_1$. Не скрещивается.C. $AB$: Это ребро пересекает $AA_1$ в точке $A$. Не скрещивается.D. $A_1D_1$: Это ребро пересекает $AA_1$ в точке $A_1$. Не скрещивается.

Ответ: A

12. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AB$:

Ребро $AB$ лежит в нижнем основании призмы.Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Для этого они не должны лежать в одной плоскости.A. $CD$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $AB$ (плоскость нижнего основания $ABCDEF$). Они не параллельны. В одной плоскости непараллельные прямые всегда пересекаются (при их продлении). Поэтому $CD$ не скрещивается с $AB$.B. $EF$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $AB$. Они не параллельны. Поэтому $EF$ не скрещивается с $AB$.C. $DD_1$: Это боковое ребро призмы. Оно перпендикулярно плоскости нижнего основания, в которой лежит $AB$. Следовательно, $DD_1$ перпендикулярно $AB$. Они не параллельны. Они не пересекаются (нет общей вершины). Они не компланарны (если бы были, $AB$ была бы в плоскости $DD_1E_1E$, что не так). Следовательно, $DD_1$ скрещивается с $AB$.D. $D_1E_1$: Это ребро верхнего основания. В правильном шестиугольнике $AB \parallel DE$. Так как $D_1E_1 \parallel DE$, то $D_1E_1 \parallel AB$. Параллельные прямые не скрещиваются.

Ответ: C

13. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $SA$:

Ребро $SA$ является боковым ребром пирамиды.Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются.A. $AB$: Это ребро основания. Оно пересекает $SA$ в точке $A$. Не скрещивается.B. $SC$: Это другое боковое ребро. Прямые $SA$ и $SC$ лежат в одной плоскости (диагональное сечение $SAC$). Поскольку они имеют общую вершину $S$ и не параллельны (угол $ASC \neq 0$), они пересекаются в точке $S$. Не скрещиваются.C. $SD$: Это другое боковое ребро. Оно пересекает $SA$ в точке $S$. Не скрещивается.D. $BC$: Это ребро основания. Оно не параллельно $SA$. Оно не пересекает $SA$ (нет общей вершины). Прямая $SA$ и прямая $BC$ не лежат в одной плоскости. Плоскость $SBC$ содержит $BC$, но не содержит $SA$. Следовательно, $BC$ скрещивается с $SA$.

Ответ: D

14. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $BC$:

Ребро $BC$ является стороной основания пирамиды.Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются.A. $DE$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $BC$ (плоскость основания $ABCDEF$). В правильном шестиугольнике $BC$ не параллельно $DE$ (на самом деле $BC \parallel EF$). Так как они компланарны и не параллельны, они пересекаются (при их продлении). Не скрещиваются.B. $SB$: Это боковое ребро. Оно пересекает $BC$ в точке $B$. Не скрещивается.C. $SA$: Это боковое ребро. Оно не параллельно $BC$. Оно не пересекает $BC$ (нет общей вершины). Прямая $SA$ и прямая $BC$ не лежат в одной плоскости. Плоскость $SBC$ содержит $BC$, но не содержит $SA$. Следовательно, $SA$ скрещивается с $BC$.D. $AF$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $BC$. В правильном шестиугольнике $AF$ не параллельно $BC$ (на самом деле $AF \parallel CD$). Так как они компланарны и не параллельны, они пересекаются (при их продлении). Не скрещиваются.

Ответ: C

15. Укажите плоскость, параллельную ребру $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

Ребро $CC_1$ является вертикальным ребром куба. Плоскость параллельна прямой, если эта прямая не имеет общих точек с плоскостью, либо прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.Ребро $CC_1$ параллельно всем другим вертикальным ребрам куба: $AA_1, BB_1, DD_1$.A. $ABC$: Это плоскость нижнего основания. Ребро $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$. Не параллельна.B. $ABC_1$: Эта плоскость содержит $A, B, C_1$. Ребро $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C_1$. Не параллельна.C. $BDA_1$: Эта плоскость проходит через вершины $B, D, A_1$. Ребро $CC_1$ не пересекает эту плоскость. Чтобы проверить параллельность, можно проверить, содержит ли плоскость прямую, параллельную $CC_1$, или ортогонален ли вектор направления $CC_1$ нормали плоскости. Плоскость $BDA_1$ содержит $A_1$. Ребро $AA_1$ параллельно $CC_1$. Однако $AA_1$ не лежит в плоскости $BDA_1$ (точка $A$ не лежит в $BDA_1$). Уравнение плоскости $BDA_1$ (при начале координат в $A$, ребрах по осям): $x+y+z=a$ (где $a$ - длина ребра куба). Вектор $CC_1$ имеет направление $(0,0,1)$. Нормаль плоскости $(1,1,1)$. Скалярное произведение $(0,0,1) \cdot (1,1,1) = 1 \neq 0$. Значит, $CC_1$ пересекает плоскость $BDA_1$. Не параллельна.D. $BDD_1$: Эта плоскость является диагональной плоскостью куба, проходящей через вершины $B, D, D_1$. Эта плоскость содержит ребро $DD_1$. Так как $DD_1$ параллельно $CC_1$, то плоскость $BDD_1$ параллельна прямой $CC_1$.

Ответ: D

16. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную прямой $BC_1$:

Прямая $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$.A. $ACD_1$: Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $A, C, D_1$. В кубе диагонали противоположных граней параллельны друг другу. Прямая $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Прямая $AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$. Эти грани противоположны. Соответственно, $BC_1 \parallel AD_1$. Поскольку прямая $AD_1$ лежит в плоскости $ACD_1$, то прямая $BC_1$ параллельна плоскости $ACD_1$.

Ответ: A

17. Укажите плоскость, параллельную ребру $AF$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$:

Ребро $AF$ лежит в нижнем основании призмы.Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ сторона $AF$ параллельна стороне $CD$.Плоскость параллельна прямой, если она содержит прямую, параллельную данной, или не имеет общих точек с данной прямой.Используем метод координат. Пусть центр нижнего основания $O$ - начало координат $(0,0,0)$. Пусть длина стороны шестиугольника $r$. Высота призмы $h$.$A(r,0,0)$, $F(r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$. Вектор $\vec{AF} = (r/2-r, -r\sqrt{3}/2-0, 0) = (-r/2, -r\sqrt{3}/2, 0)$.Проверим варианты:A. $BEE_1$: Точки $B(r/2, r\sqrt{3}/2,0)$, $E(-r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$, $E_1(-r/2, -r\sqrt{3}/2,h)$.Векторы, определяющие плоскость: $\vec{BE} = E-B = (-r, -r\sqrt{3}, 0)$. $\vec{EE_1} = (0,0,h)$.Нормаль к плоскости $BEE_1$: $N_{BEE_1} = \vec{BE} \times \vec{EE_1} = ((-r\sqrt{3})h - 0, 0 - (-r)h, (-r)0 - (-r\sqrt{3})0) = (-r\sqrt{3}h, rh, 0)$.Проверим, ортогонален ли вектор $\vec{AF}$ нормали $N_{BEE_1}$:$\vec{AF} \cdot N_{BEE_1} = (-r/2)(-r\sqrt{3}h) + (-r\sqrt{3}/2)(rh) + (0)(0) = r^2\sqrt{3}h/2 - r^2\sqrt{3}h/2 = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{AF}$ ортогонален нормали плоскости $BEE_1$, что означает, что прямая $AF$ параллельна плоскости $BEE_1$.Прямая $AF$ не пересекает плоскость $BEE_1$ (точки $A$ и $F$ не лежат в этой плоскости).Это является верным ответом.

Ответ: A

18. Укажите плоскость, параллельную ребру $CD$ правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$:

Ребро $CD$ лежит в основании пирамиды. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $FA$ ($CD \parallel FA$).Плоскость $SAF$ содержит ребро $FA$. Поскольку $CD \parallel FA$ и $FA$ лежит в плоскости $SAF$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $SAF$.Рассмотрим другие варианты:A. $SAB$: содержит $AB$. $CD$ не параллельно $AB$.C. $SBC$: содержит $BC$. $CD$ не параллельно $BC$.D. $SEF$: содержит $EF$. $CD$ не параллельно $EF$ ($CD \parallel FA$, $EF \parallel BC$).

Ответ: B

19. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ACB_1$:

Плоскость параллельна другой плоскости, если их нормальные векторы параллельны.Пусть куб имеет вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$ и ребра, идущие по осям координат, длиной $s$.Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(s,0,0)$, $C(s,s,0)$, $D(0,s,0)$, $A_1(0,0,s)$, $B_1(s,0,s)$, $C_1(s,s,s)$, $D_1(0,s,s)$.Плоскость $ACB_1$ содержит точки $A(0,0,0)$, $C(s,s,0)$, $B_1(s,0,s)$.Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{AC} = (s,s,0)$, $\vec{AB_1} = (s,0,s)$.Нормальный вектор $N_{ACB_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = (s \cdot s - 0 \cdot 0, 0 \cdot s - s \cdot s, s \cdot 0 - s \cdot s) = (s^2, -s^2, -s^2)$.Можно использовать нормальный вектор $(1, -1, -1)$.Проверим варианты:A. $ABC$: это плоскость $z=0$. Нормаль $(0,0,1)$. Не параллельна $(1,-1,-1)$.B. $ADD_1$: это плоскость $x=0$. Нормаль $(1,0,0)$. Не параллельна $(1,-1,-1)$.C. $DA_1C_1$: Эта плоскость содержит точки $D(0,s,0)$, $A_1(0,0,s)$, $C_1(s,s,s)$.Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{DA_1} = A_1-D = (0,-s,s)$, $\vec{DC_1} = C_1-D = (s,0,s)$.Нормальный вектор $N_{DA_1C_1} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = ((-s)s - s \cdot 0, s \cdot s - 0 \cdot s, 0 \cdot 0 - (-s)s) = (-s^2, s^2, s^2)$.Этот вектор $(-s^2, s^2, s^2)$ пропорционален $(1,-1,-1)$ (путем умножения на $-s^2$).Следовательно, плоскость $DA_1C_1$ параллельна плоскости $ACB_1$.Это стандартное свойство куба: плоскости, проходящие через диагонали противоположных граней, параллельны.

Ответ: C

20. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ADC_1$:

Используем координатный метод. Пусть центр нижнего основания $O$ - начало координат $(0,0,0)$. Длина стороны шестиугольника $r$. Высота призмы $h$.Координаты вершин: $A(r,0,0)$, $D(-r,0,0)$, $C_1(-r/2, r\sqrt{3}/2, h)$.Плоскость $ADC_1$:Векторы в плоскости: $\vec{AD} = D-A = (-2r,0,0)$. $\vec{AC_1} = C_1-A = (-r/2-r, r\sqrt{3}/2-0, h-0) = (-3r/2, r\sqrt{3}/2, h)$.Нормальный вектор $N_{ADC_1} = \vec{AD} \times \vec{AC_1} = (0 \cdot h - 0 \cdot r\sqrt{3}/2, 0 \cdot (-3r/2) - (-2r)h, (-2r)r\sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-3r/2)) = (0, 2rh, -r^2\sqrt{3})$.Можно взять пропорциональный вектор $(0, 2h, -r\sqrt{3})$.Проверим варианты:A. $EFA_1$: Точки $E(-r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$, $F(r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$, $A_1(r,0,h)$.Векторы в плоскости: $\vec{EF} = F-E = (r,0,0)$. $\vec{EA_1} = A_1-E = (r-(-r/2), 0-(-r\sqrt{3}/2), h-0) = (3r/2, r\sqrt{3}/2, h)$.Нормальный вектор $N_{EFA_1} = \vec{EF} \times \vec{EA_1} = (0 \cdot h - 0 \cdot r\sqrt{3}/2, 0 \cdot 3r/2 - r \cdot h, r \cdot r\sqrt{3}/2 - 0 \cdot 3r/2) = (0, -rh, r^2\sqrt{3}/2)$.Этот нормальный вектор $(0, -rh, r^2\sqrt{3}/2)$ пропорционален вектору $(0, 2h, -r\sqrt{3})$:$(0, -rh, r^2\sqrt{3}/2) \times (-2/r) = (0, 2h, -r\sqrt{3})$.Поскольку нормальные векторы пропорциональны, плоскости $EFA_1$ и $ADC_1$ параллельны.

Ответ: A