Номер 8.11, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.11. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти:
Доказать, что плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$ параллельны.

Решение:
Для доказательства параллельности двух плоскостей достаточно показать, что их нормальные векторы параллельны.
Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$, а высота призмы равна $h$.
Координаты вершин правильного шестиугольника $ABCDEF$ в основании:
$A = (a, 0, 0)$
$B = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-a, 0, 0)$
$E = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь ту же $x, y$ координаты, но $z$ координата будет равна $h$:
$A_1 = (a, 0, h)$
$B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$C_1 = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$D_1 = (-a, 0, h)$
$E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$F_1 = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Плоскость $ABC_1$:
Эта плоскость определяется точками $A(a,0,0)$, $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:
$\vec{AB} = B - A = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{3a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & h \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = (\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot h - 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2})\vec{i} - (-\frac{a}{2} \cdot h - 0 \cdot (-\frac{3a}{2}))\vec{j} + (-\frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3a}{2}))\vec{k}$
$\vec{n_1} = (\frac{a\sqrt{3}h}{2})\vec{i} - (-\frac{ah}{2})\vec{j} + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2\sqrt{3}}{4})\vec{k}$
$\vec{n_1} = (\frac{a\sqrt{3}h}{2}, \frac{ah}{2}, \frac{2a^2\sqrt{3}}{4}) = (\frac{a\sqrt{3}h}{2}, \frac{ah}{2}, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$
Для упрощения, можно разделить компоненты на $\frac{a}{2}$:
$\vec{n_1}' = (\sqrt{3}h, h, a\sqrt{3})$

Плоскость $CD_1E_1$:
Эта плоскость определяется точками $C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D_1(-a, 0, h)$ и $E_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:
$\vec{CD_1} = D_1 - C = (-a - (-\frac{a}{2}), 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (0, -a\sqrt{3}, h)$
Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $CD_1E_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CD_1} \times \vec{CE_1}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{a}{2} & -\frac{a\sqrt{3}}{2} & h \\ 0 & -a\sqrt{3} & h \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = ((-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot h - h \cdot (-a\sqrt{3}))\vec{i} - (-\frac{a}{2} \cdot h - h \cdot 0)\vec{j} + (-\frac{a}{2} \cdot (-a\sqrt{3}) - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot 0)\vec{k}$
$\vec{n_2} = (-\frac{a\sqrt{3}h}{2} + a\sqrt{3}h)\vec{i} - (-\frac{ah}{2})\vec{j} + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})\vec{k}$
$\vec{n_2} = (\frac{a\sqrt{3}h}{2}, \frac{ah}{2}, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$
Для упрощения, можно разделить компоненты на $\frac{a}{2}$:
$\vec{n_2}' = (\sqrt{3}h, h, a\sqrt{3})$

Поскольку нормальные векторы $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$ равны (то есть параллельны), плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$ параллельны.

Ответ: Плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$ параллельны, так как их нормальные векторы равны (параллельны).