Номер 8.6, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.6. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

а) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

б) $ABB_1$ и $DEE_1$;

в) $ABB_1$ и $CFF_1$;

г) $ACC_1$ и $DFF_1$.

a) ABC и A₁B₁C₁

По определению призмы, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ лежат в параллельных плоскостях. Следовательно, плоскости $ABC$ (которая содержит нижнее основание) и $A_1B_1C_1$ (которая содержит верхнее основание) параллельны.
Дополнительно можно обосновать это, используя признак параллельности плоскостей:
1. Прямая $AB$, лежащая в плоскости $ABC$, параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости $A_1B_1C_1$, так как $ABB_1A_1$ является прямоугольной боковой гранью призмы. То есть, $AB \parallel A_1B_1$.
2. Прямая $BC$, лежащая в плоскости $ABC$, параллельна прямой $B_1C_1$, лежащей в плоскости $A_1B_1C_1$, так как $BCC_1B_1$ является прямоугольной боковой гранью призмы. То есть, $BC \parallel B_1C_1$.
3. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$. Прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ пересекаются в точке $B_1$.
Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $BC$) одной плоскости ($ABC$) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($A_1B_1$ и $B_1C_1$) другой плоскости ($A_1B_1C_1$), эти плоскости параллельны.

Ответ:

б) ABB₁ и DEE₁

Рассмотрим плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$.
1. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AB$ и $DE$ являются противоположными сторонами, следовательно, они параллельны. То есть, $AB \parallel DE$.
2. В правильной призме все боковые ребра параллельны друг другу. Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно ребру $EE_1$. То есть, $BB_1 \parallel EE_1$.
3. Прямые $AB$ и $BB_1$ лежат в плоскости $ABB_1$ и пересекаются в точке $B$.
4. Прямые $DE$ и $EE_1$ лежат в плоскости $DEE_1$ и пересекаются в точке $E$.
По признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Так как $AB \parallel DE$ и $BB_1 \parallel EE_1$, плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$ параллельны.

Ответ:

в) ABB₁ и CFF₁

Рассмотрим плоскости $ABB_1$ и $CFF_1$.
1. В основании правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$ сторона $AB$ параллельна диагонали $CF$. Для доказательства этого расположим центр шестиугольника в начале координат $(0,0)$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $s$. Координаты вершин: $A = (s, 0)$ $B = (s/2, s\sqrt{3}/2)$ $C = (-s/2, s\sqrt{3}/2)$ $F = (s/2, -s\sqrt{3}/2)$
Угловой коэффициент прямой $AB$ ($m_{AB}$): $m_{AB} = \frac{s\sqrt{3}/2 - 0}{s/2 - s} = \frac{s\sqrt{3}/2}{-s/2} = -\sqrt{3}$.
Угловой коэффициент прямой $CF$ ($m_{CF}$): $m_{CF} = \frac{-s\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2}{s/2 - (-s/2)} = \frac{-s\sqrt{3}}{s} = -\sqrt{3}$.
Так как угловые коэффициенты прямых $AB$ и $CF$ равны ($m_{AB} = m_{CF} = -\sqrt{3}$), то $AB \parallel CF$.
2. Боковые ребра призмы параллельны между собой. Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно ребру $FF_1$. То есть, $BB_1 \parallel FF_1$.
3. Прямые $AB$ и $BB_1$ лежат в плоскости $ABB_1$ и пересекаются в точке $B$.
4. Прямые $CF$ и $FF_1$ лежат в плоскости $CFF_1$ и пересекаются в точке $F$.
По признаку параллельности плоскостей: так как $AB \parallel CF$ и $BB_1 \parallel FF_1$, плоскости $ABB_1$ и $CFF_1$ параллельны.

Ответ:

г) ACC₁ и DFF₁

Рассмотрим плоскости $ACC_1$ и $DFF_1$.
1. В основании правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$ диагональ $AC$ параллельна диагонали $DF$. Для доказательства этого используем те же координаты, что и в предыдущем пункте: $A = (s, 0)$ $C = (-s/2, s\sqrt{3}/2)$ $D = (-s, 0)$ $F = (s/2, -s\sqrt{3}/2)$
Угловой коэффициент прямой $AC$ ($m_{AC}$): $m_{AC} = \frac{s\sqrt{3}/2 - 0}{-s/2 - s} = \frac{s\sqrt{3}/2}{-3s/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Угловой коэффициент прямой $DF$ ($m_{DF}$): $m_{DF} = \frac{-s\sqrt{3}/2 - 0}{s/2 - (-s)} = \frac{-s\sqrt{3}/2}{3s/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как угловые коэффициенты прямых $AC$ и $DF$ равны ($m_{AC} = m_{DF} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$), то $AC \parallel DF$.
2. Боковые ребра призмы параллельны между собой. Следовательно, ребро $CC_1$ параллельно ребру $FF_1$. То есть, $CC_1 \parallel FF_1$.
3. Прямые $AC$ и $CC_1$ лежат в плоскости $ACC_1$ и пересекаются в точке $C$.
4. Прямые $DF$ и $FF_1$ лежат в плоскости $DFF_1$ и пересекаются в точке $F$.
По признаку параллельности плоскостей: так как $AC \parallel DF$ и $CC_1 \parallel FF_1$, плоскости $ACC_1$ и $DFF_1$ параллельны.

Ответ: