Страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.2. Укажите параллельные плоскости, содержащие грани правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти:

Параллельные плоскости, содержащие грани призмы.

Решение:

В правильной шестиугольной призме можно выделить два типа параллельных граней:

Основания призмы

По определению призмы, её основания лежат в параллельных плоскостях. В данном случае это плоскость нижнего основания $ABCDEF$ и плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ответ: Плоскости $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Боковые грани

В правильной шестиугольной призме боковые грани являются прямоугольниками. Поскольку основанием является правильный шестиугольник, противоположные стороны основания параллельны. Это приводит к тому, что соответствующие им боковые грани также параллельны. У правильного шестиугольника три пары противоположных сторон, соответственно, есть три пары параллельных боковых граней:

1. Плоскость, содержащая грань $ABB_1A_1$, параллельна плоскости, содержащей грань $DEE_1D_1$.

2. Плоскость, содержащая грань $BCC_1B_1$, параллельна плоскости, содержащей грань $EFF_1E_1$.

3. Плоскость, содержащая грань $CDD_1C_1$, параллельна плоскости, содержащей грань $FAA_1F_1$.

Ответ: Плоскости $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$; Плоскости $BCC_1B_1$ и $EFF_1E_1$; Плоскости $CDD_1C_1$ и $FAA_1F_1$.

8.3. Имеются ли параллельные грани у правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8.6)?

Рис. 8.6

Имеются ли параллельные грани у правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8.6)?

Для определения наличия параллельных граней у правильной четырехугольной пирамиды, рассмотрим её строение. Правильная четырехугольная пирамида состоит из одной грани-основания и четырех боковых граней.

Рассмотрим пары граней:

1.Основание и боковые грани. Основание пирамиды (квадрат ABCD) пересекается с каждой из боковых граней (например, треугольник SAB) по одной из сторон основания. Поскольку эти грани имеют общие линии пересечения, они не могут быть параллельными. Плоскость основания пересекает все боковые грани.

2.Боковые грани между собой. Все боковые грани правильной пирамиды являются треугольниками, которые сходятся в одной общей точке — вершине пирамиды S. Например, боковые грани SAB и SBC имеют общее ребро SB. Даже противоположные боковые грани, такие как SAB и SCD, пересекаются в общей вершине S. Поскольку все боковые грани имеют общую вершину S, они не могут быть параллельными, так как параллельные плоскости никогда не пересекаются.

Таким образом, у правильной четырехугольной пирамиды отсутствуют параллельные грани.

Ответ: Нет

8.4. Имеются ли параллельные грани у правильной шестиугольной пирамиды (рис. 8.7)?

Рис. 8.7

Решение

Правильная шестиугольная пирамида состоит из одной грани-основания (правильного шестиугольника) и шести боковых граней (треугольников). Все боковые грани пирамиды сходятся в одной общей точке – вершине (апексе) пирамиды, обозначенной как S на рисунке 8.7.

Рассмотрим, могут ли существовать параллельные грани в такой пирамиде, то есть грани, которые никогда не пересекаются, как бы далеко они ни были продолжены.

Основание и боковые грани: Основание пирамиды является плоскостью. Каждая боковая грань, например, треугольник $SAB$, является другой плоскостью. Все боковые грани сходятся в апексе $S$ и каждая из них пересекает плоскость основания по одному из ребер основания (например, $AB$ для грани $SAB$). Так как боковые грани пересекают основание, они не могут быть параллельны ему.

Боковые грани между собой: Рассмотрим любые две боковые грани, например, треугольник $SAB$ и треугольник $SCD$. Обе эти грани имеют общую вершину $S$. По определению, две плоскости не могут быть параллельными, если они имеют хотя бы одну общую точку. Следовательно, ни одна пара боковых граней не является параллельной друг другу, так как все они пересекаются в общей вершине $S$.

Таким образом, у правильной шестиугольной пирамиды отсутствуют параллельные грани.

Ответ: Параллельных граней у правильной шестиугольной пирамиды нет.

8.5. Докажите, что у параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны плоскости:
а) $ABB_1$ и $CDD_1$;
б) $AB_1D_1$ и $BDC_1$.

а) ABB₁ и CDD₁

Решение:

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $ABB_1$ содержит грань $ABB_1A_1$. Плоскость $CDD_1$ содержит грань $CDD_1C_1$. По определению параллелепипеда, его противоположные грани являются параллельными плоскостями. Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ – это противоположные грани параллелепипеда. Следовательно, плоскость $ABB_1A_1$ параллельна плоскости $CDD_1C_1$. Таким образом, плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $CDD_1$.

Ответ: Плоскости $ABB_1$ и $CDD_1$ параллельны.

б) AB₁D₁ и BDC₁

Решение:

Для доказательства параллельности двух плоскостей $AB_1D_1$ и $BDC_1$, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

1. Рассмотрим прямые $B_1D_1$ (лежащую в плоскости $AB_1D_1$) и $BD$ (лежащую в плоскости $BDC_1$). В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые рёбра $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по длине ($BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$). Из этого следует, что четырехугольник $BB_1D_1D$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $B_1D_1 \parallel BD$.

2. Рассмотрим прямые $AD_1$ (лежащую в плоскости $AB_1D_1$) и $BC_1$ (лежащую в плоскости $BDC_1$). Пусть $\vec{AD}$ - вектор, соответствующий ребру $AD$, и $\vec{AA_1}$ - вектор, соответствующий ребру $AA_1$. Вектор $\vec{AD_1}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{AD} + \vec{DD_1}$. Поскольку $DD_1$ является ребром параллелепипеда, параллельным и равным $AA_1$, то $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Вектор $\vec{BC_1}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{BC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $ABCD$ является параллелограммом (основание параллелепипеда), то $\vec{BC} = \vec{AD}$. Поскольку $CC_1$ является ребром параллелепипеда, параллельным и равным $AA_1$, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{BC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Поскольку $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$, то $\vec{AD_1} = \vec{BC_1}$. Это означает, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны ($AD_1 \parallel BC_1$).

Прямые $B_1D_1$ и $AD_1$ пересекаются в точке $D_1$ и лежат в плоскости $AB_1D_1$. Прямые $BD$ и $BC_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $BDC_1$. Мы показали, что $B_1D_1 \parallel BD$ и $AD_1 \parallel BC_1$. По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Таким образом, плоскость $AB_1D_1$ параллельна плоскости $BDC_1$.

Ответ: Плоскости $AB_1D_1$ и $BDC_1$ параллельны.

8.6. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

а) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

б) $ABB_1$ и $DEE_1$;

в) $ABB_1$ и $CFF_1$;

г) $ACC_1$ и $DFF_1$.

a) ABC и A₁B₁C₁

По определению призмы, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ лежат в параллельных плоскостях. Следовательно, плоскости $ABC$ (которая содержит нижнее основание) и $A_1B_1C_1$ (которая содержит верхнее основание) параллельны.
Дополнительно можно обосновать это, используя признак параллельности плоскостей:
1. Прямая $AB$, лежащая в плоскости $ABC$, параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости $A_1B_1C_1$, так как $ABB_1A_1$ является прямоугольной боковой гранью призмы. То есть, $AB \parallel A_1B_1$.
2. Прямая $BC$, лежащая в плоскости $ABC$, параллельна прямой $B_1C_1$, лежащей в плоскости $A_1B_1C_1$, так как $BCC_1B_1$ является прямоугольной боковой гранью призмы. То есть, $BC \parallel B_1C_1$.
3. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$. Прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ пересекаются в точке $B_1$.
Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $BC$) одной плоскости ($ABC$) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($A_1B_1$ и $B_1C_1$) другой плоскости ($A_1B_1C_1$), эти плоскости параллельны.

Ответ:

б) ABB₁ и DEE₁

Рассмотрим плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$.
1. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AB$ и $DE$ являются противоположными сторонами, следовательно, они параллельны. То есть, $AB \parallel DE$.
2. В правильной призме все боковые ребра параллельны друг другу. Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно ребру $EE_1$. То есть, $BB_1 \parallel EE_1$.
3. Прямые $AB$ и $BB_1$ лежат в плоскости $ABB_1$ и пересекаются в точке $B$.
4. Прямые $DE$ и $EE_1$ лежат в плоскости $DEE_1$ и пересекаются в точке $E$.
По признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Так как $AB \parallel DE$ и $BB_1 \parallel EE_1$, плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$ параллельны.

Ответ:

в) ABB₁ и CFF₁

Рассмотрим плоскости $ABB_1$ и $CFF_1$.
1. В основании правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$ сторона $AB$ параллельна диагонали $CF$. Для доказательства этого расположим центр шестиугольника в начале координат $(0,0)$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $s$. Координаты вершин: $A = (s, 0)$ $B = (s/2, s\sqrt{3}/2)$ $C = (-s/2, s\sqrt{3}/2)$ $F = (s/2, -s\sqrt{3}/2)$
Угловой коэффициент прямой $AB$ ($m_{AB}$): $m_{AB} = \frac{s\sqrt{3}/2 - 0}{s/2 - s} = \frac{s\sqrt{3}/2}{-s/2} = -\sqrt{3}$.
Угловой коэффициент прямой $CF$ ($m_{CF}$): $m_{CF} = \frac{-s\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2}{s/2 - (-s/2)} = \frac{-s\sqrt{3}}{s} = -\sqrt{3}$.
Так как угловые коэффициенты прямых $AB$ и $CF$ равны ($m_{AB} = m_{CF} = -\sqrt{3}$), то $AB \parallel CF$.
2. Боковые ребра призмы параллельны между собой. Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно ребру $FF_1$. То есть, $BB_1 \parallel FF_1$.
3. Прямые $AB$ и $BB_1$ лежат в плоскости $ABB_1$ и пересекаются в точке $B$.
4. Прямые $CF$ и $FF_1$ лежат в плоскости $CFF_1$ и пересекаются в точке $F$.
По признаку параллельности плоскостей: так как $AB \parallel CF$ и $BB_1 \parallel FF_1$, плоскости $ABB_1$ и $CFF_1$ параллельны.

Ответ:

г) ACC₁ и DFF₁

Рассмотрим плоскости $ACC_1$ и $DFF_1$.
1. В основании правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$ диагональ $AC$ параллельна диагонали $DF$. Для доказательства этого используем те же координаты, что и в предыдущем пункте: $A = (s, 0)$ $C = (-s/2, s\sqrt{3}/2)$ $D = (-s, 0)$ $F = (s/2, -s\sqrt{3}/2)$
Угловой коэффициент прямой $AC$ ($m_{AC}$): $m_{AC} = \frac{s\sqrt{3}/2 - 0}{-s/2 - s} = \frac{s\sqrt{3}/2}{-3s/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Угловой коэффициент прямой $DF$ ($m_{DF}$): $m_{DF} = \frac{-s\sqrt{3}/2 - 0}{s/2 - (-s)} = \frac{-s\sqrt{3}/2}{3s/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как угловые коэффициенты прямых $AC$ и $DF$ равны ($m_{AC} = m_{DF} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$), то $AC \parallel DF$.
2. Боковые ребра призмы параллельны между собой. Следовательно, ребро $CC_1$ параллельно ребру $FF_1$. То есть, $CC_1 \parallel FF_1$.
3. Прямые $AC$ и $CC_1$ лежат в плоскости $ACC_1$ и пересекаются в точке $C$.
4. Прямые $DF$ и $FF_1$ лежат в плоскости $DFF_1$ и пересекаются в точке $F$.
По признаку параллельности плоскостей: так как $AC \parallel DF$ и $CC_1 \parallel FF_1$, плоскости $ACC_1$ и $DFF_1$ параллельны.

Ответ:

8.7. Верно ли утверждение: "Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны"?

Решение

Данное утверждение является ложным. Приведем контрпример, чтобы доказать его неверность.

Рассмотрим две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются. Например, представьте две смежные грани куба или две страницы раскрытой книги. Пусть эти плоскости пересекаются по некоторой прямой $l$.

Возьмем в плоскости $\alpha$ прямую $a$ такую, что $a \subset \alpha$ и $a$ параллельна прямой $l$ ($a \parallel l$).

Аналогично, возьмем в плоскости $\beta$ прямую $b$ такую, что $b \subset \beta$ и $b$ параллельна прямой $l$ ($b \parallel l$).

Поскольку обе прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же прямой $l$, то по свойству транзитивности параллельности прямых, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Таким образом, мы имеем ситуацию, когда прямая, лежащая в одной плоскости ($\alpha$), параллельна прямой, лежащей в другой плоскости ($\beta$). Однако, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не являются параллельными, так как они пересекаются по прямой $l$.

Этот пример опровергает утверждение, что если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости обязательно параллельны.

Ответ:

Нет, утверждение неверно.

8.8. Верно ли утверждение: “Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны”?

Нет, данное утверждение неверно.

Решение

Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Условие задачи, однако, не указывает, что прямые, лежащие в каждой плоскости, должны пересекаться. Они могут быть параллельными между собой.

Рассмотрим контрпример.

Пусть плоскость $P_1$ - это координатная плоскость $z=0$ (плоскость $xOy$).

Пусть в плоскости $P_1$ даны две прямые: прямая $a$ - ось $Ox$, задаваемая уравнениями $y=0, z=0$; и прямая $b$ - прямая $y=1, z=0$. Прямая $b$ параллельна оси $Ox$, то есть $a \parallel b$. Обе прямые лежат в плоскости $P_1$.

Пусть плоскость $P_2$ - это координатная плоскость $y=0$ (плоскость $xOz$).

Пусть в плоскости $P_2$ даны две прямые: прямая $c$ - ось $Ox$, задаваемая уравнениями $y=0, z=0$. Эта прямая $c$ параллельна прямой $a$ (они совпадают), то есть $a \parallel c$. И прямая $d$ - прямая $y=0, z=1$. Эта прямая $d$ параллельна оси $Ox$. Направление прямой $b$ задается вектором $(1,0,0)$. Направление прямой $d$ также задается вектором $(1,0,0)$. Поскольку эти прямые не имеют общих точек (у $b$ координата $y=1$, у $d$ координата $y=0$, а у $b$ координата $z=0$, у $d$ координата $z=1$), они параллельны, то есть $b \parallel d$. Обе прямые лежат в плоскости $P_2$.

Итак, мы имеем две прямые $a$ и $b$ в плоскости $P_1$, которые параллельны друг другу ($a \parallel b$). Мы также имеем две прямые $c$ и $d$ в плоскости $P_2$, которые параллельны друг другу ($c \parallel d$). При этом выполняются условия, указанные в утверждении: прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$) и прямая $b$ параллельна прямой $d$ ($b \parallel d$).

Однако, плоскость $P_1$ ($z=0$) и плоскость $P_2$ ($y=0$) не являются параллельными. Они пересекаются по оси $Ox$ ($y=0, z=0$).

Таким образом, утверждение, что "Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны", неверно.

Ответ: Нет.