Страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.3. Верно ли, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?

Дано: Утверждение о двух прямых, которые параллельны одной и той же плоскости.

Найти: Верно ли, что эти две прямые параллельны между собой.

Решение

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$, которые обе параллельны некоторой плоскости $\alpha$. Утверждение состоит в том, что в этом случае прямые $a$ и $b$ обязательно параллельны друг другу.

Это утверждение неверно. Для того чтобы показать это, достаточно привести контрпример.

Представим плоскость $\alpha$ как пол комнаты ($z=0$). Рассмотрим прямую $a$, расположенную на потолке комнаты ($z=h$, где $h > 0$) и параллельную полу. Например, это может быть прямая, совпадающая с осью $Ox$ в плоскости $z=h$: $a: \{ (x, 0, h) \mid x \in \mathbb{R} \}$. Эта прямая параллельна плоскости $z=0$, так как все её точки имеют постоянную $z$-координату $h \ne 0$, и она не пересекает плоскость $\alpha$.

Рассмотрим прямую $b$, также расположенную на потолке комнаты ($z=h$) и параллельную полу. Например, это может быть прямая, совпадающая с осью $Oy$ в плоскости $z=h$: $b: \{ (0, y, h) \mid y \in \mathbb{R} \}$. Эта прямая также параллельна плоскости $z=0$ по той же причине.

Однако прямые $a$ и $b$ не параллельны между собой. Они лежат в одной плоскости ($z=h$) и пересекаются в точке $(0, 0, h)$. Более того, их направляющие векторы $\vec{v_a} = (1, 0, 0)$ и $\vec{v_b} = (0, 1, 0)$ перпендикулярны, поскольку их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не являются параллельными.

Ответ: Нет, это утверждение неверно.

7.4. Верно ли, что если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости?

Да, это утверждение верно.

Рассмотрим данное утверждение:

Пусть дана прямая $a$, плоскость $\alpha$ и прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$.

Условие: прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), и прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Вопрос: Следует ли из этих условий, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$)?

Определение: Прямая считается параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек (то есть не пересекает ее), или если она целиком лежит в этой плоскости.

Для ответа на вопрос рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$:

Случай 1: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

В этом случае, по определению параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ по определению параллельна плоскости $\alpha$. Условие $a \parallel b$ (где $b \subset \alpha$) может быть выполнено, например, если $a$ и $b$ - это две различные параллельные прямые, лежащие в плоскости $\alpha$. Таким образом, в данном случае утверждение верно.

Случай 2: Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

В этом случае применяется один из основных признаков параллельности прямой и плоскости, который гласит: "Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости".

Согласно этому признаку, если $a \not\subset \alpha$ и нам дано, что $a \parallel b$ (где $b \subset \alpha$), то прямая $a$ обязательно будет параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Таким образом, и в этом случае утверждение также верно.

Поскольку утверждение оказывается верным в обоих возможных случаях расположения прямой $a$ относительно плоскости $\alpha$ (как когда прямая лежит в плоскости, так и когда она не лежит в ней), исходное утверждение является истинным.

Ответ: Верно.

7.5. Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Решение

Рассмотрим две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, и плоскость $\alpha$. По условию, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, то есть $l_1 \parallel l_2$. Также по условию, одна из этих прямых, например, $l_1$, параллельна плоскости $\alpha$, то есть $l_1 \parallel \alpha$. Необходимо определить, будет ли вторая прямая $l_2$ также параллельна плоскости $\alpha$.

В стереометрии существует теорема, которая гласит: если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то и вторая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней. Рассмотрим это утверждение более подробно.

Случай 1: Прямая $l_1$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l_1 \subset \alpha$). В этом случае прямая $l_1$ является параллельной плоскости $\alpha$ по определению. Поскольку прямая $l_2$ параллельна прямой $l_1$ ($l_2 \parallel l_1$), и $l_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $l_2$ либо совпадает с $l_1$ (и тогда $l_2 \subset \alpha$), либо $l_2$ параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней. Если $l_2$ не совпадает с $l_1$, то $l_2$ не может пересекать плоскость $\alpha$. Если бы $l_2$ пересекала $\alpha$ в некоторой точке, то через эту точку и прямую $l_1$ (или другую точку на $l_1$ для создания плоскости) можно было бы построить плоскость, в которой $l_1$ и $l_2$ были бы параллельны и $l_2$ пересекала $\alpha$, а $l_1$ лежала бы в $\alpha$. В этом случае $l_2$ оказалась бы лежащей в $\alpha$, так как две параллельные прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость, должны приводить к тому, что точка пересечения лежит на первой прямой, что противоречит их параллельности (если они не совпадают). Таким образом, $l_2$ не пересекает плоскость $\alpha$, а значит, $l_2 \parallel \alpha$. В любом случае, $l_2$ параллельна $\alpha$ (включая случай, когда $l_2$ лежит в $\alpha$).

Случай 2: Прямая $l_1$ не лежит в плоскости $\alpha$, но параллельна ей ($l_1 \parallel \alpha$ и $l_1 \not\subset \alpha$). Предположим противное, что прямая $l_2$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда $l_2$ должна пересекать плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Поскольку $l_1 \parallel l_2$, эти две прямые лежат в одной плоскости, назовем ее $\beta$. Плоскость $\beta$ содержит прямую $l_2$, которая пересекает $\alpha$ в точке $M$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $m$, которая проходит через точку $M$. То есть $m = \alpha \cap \beta$, и $M \in m$. Так как прямая $l_1$ лежит в плоскости $\beta$ ($l_1 \subset \beta$) и параллельна плоскости $\alpha$ ($l_1 \parallel \alpha$), а плоскости $\beta$ и $\alpha$ пересекаются по прямой $m$, то прямая $l_1$ должна быть параллельна прямой $m$. (Это следует из свойства: если плоскость, содержащая прямую, параллельную другой плоскости, пересекает эту вторую плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой). Таким образом, $l_1 \parallel m$. У нас есть следующие факты: $l_1 \parallel l_2$ (дано) и $l_1 \parallel m$ (доказано выше). Из транзитивности параллельности прямых следует, что $l_2 \parallel m$. Однако, мы знаем, что прямая $l_2$ пересекает прямую $m$ в точке $M$ (так как $M$ - точка пересечения $l_2$ с $\alpha$, и $m$ - линия пересечения $\beta$ с $\alpha$, причем $l_2 \subset \beta$). Если две параллельные прямые имеют общую точку, они должны совпадать. Следовательно, $l_2 = m$. Если $l_2 = m$, то $l_2$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l_2 \subset \alpha$), так как $m$ является линией в плоскости $\alpha$. А если прямая лежит в плоскости, то она ей параллельна. Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что $l_2$ не параллельна $\alpha$ (в смысле, что она пересекает), привело к выводу, что $l_2$ на самом деле параллельна $\alpha$ (и даже лежит в ней), что является противоречием с предположением о пересечении. Это доказывает, что $l_2$ не может пересекать $\alpha$, а значит $l_2 \parallel \alpha$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что вторая прямая также параллельна данной плоскости (или лежит в ней, что является частным случаем параллельности).

Ответ: Да, верно.

7.6. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ укажите ребра, параллельные граням (рис. 7.6).

Рис. 7.6

Для грани ABCD

Грань $ABCD$ является основанием правильной четырехугольной пирамиды. Ребрами, параллельными этой грани, являются те ребра, которые лежат в ее плоскости. Это ребра основания пирамиды: $AB, BC, CD, DA$.

Ответ: $AB, BC, CD, DA$

Для грани SAB

Грань $SAB$ является одной из боковых граней пирамиды. Ребрами, параллельными этой грани, являются те, которые лежат в ее плоскости: $SA, SB, AB$. Кроме того, ребро $CD$ параллельно грани $SAB$, так как оно параллельно ребру $AB$ (стороны квадрата $ABCD$), а ребро $AB$ лежит в плоскости грани $SAB$. Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости, если не лежит в ней.

Ответ: $SA, SB, AB, CD$

Для грани SBC

Грань $SBC$ является боковой гранью. Ребрами, параллельными этой грани, являются те, которые лежат в ее плоскости: $SB, SC, BC$. Также ребро $AD$ параллельно грани $SBC$, так как оно параллельно ребру $BC$ (стороны квадрата $ABCD$), а ребро $BC$ лежит в плоскости грани $SBC$.

Ответ: $SB, SC, BC, AD$

Для грани SCD

Грань $SCD$ является боковой гранью. Ребрами, параллельными этой грани, являются те, которые лежат в ее плоскости: $SC, SD, CD$. Также ребро $AB$ параллельно грани $SCD$, так как оно параллельно ребру $CD$ (стороны квадрата $ABCD$), а ребро $CD$ лежит в плоскости грани $SCD$.

Ответ: $SC, SD, CD, AB$

Для грани SDA

Грань $SDA$ является боковой гранью. Ребрами, параллельными этой грани, являются те, которые лежат в ее плоскости: $SD, SA, DA$. Также ребро $BC$ параллельно грани $SDA$, так как оно параллельно ребру $DA$ (стороны квадрата $ABCD$), а ребро $DA$ лежит в плоскости грани $SDA$.

Ответ: $SD, SA, DA, BC$

7.7. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ укажите ребра, параллельные граням (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Ребра, параллельные основанию пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ является правильный шестиугольник $ABCDEF$. Боковые ребра $SA, SB, SC, SD, SE, SF$ пересекают плоскость основания в точках $A, B, C, D, E, F$ соответственно, следовательно, они не могут быть параллельны основанию. Ребра основания $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ лежат в плоскости основания, поэтому они также не могут быть параллельны ей.

Ответ: Таких ребер нет.

Ребра, параллельные боковым граням пирамиды

Рассмотрим боковые грани пирамиды. Всего их шесть: $SAB, SBC, SCD, SDE, SEF, SFA$. Каждая боковая грань является треугольником.

Боковые ребра $SA, SB, SC, SD, SE, SF$ не могут быть параллельны никакой из боковых граней, так как они все проходят через вершину $S$, общую для всех боковых граней.

Рассмотрим ребра основания. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Это означает, что:

• $AB \parallel ED$

• $BC \parallel FE$

• $CD \parallel AF$

Линия параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо линии, лежащей в этой плоскости, и сама не лежит в этой плоскости. Таким образом:

• Ребро $ED$ параллельно грани $SAB$, так как $ED \parallel AB$, а ребро $AB$ лежит в плоскости грани $SAB$. Ребро $ED$ не лежит в плоскости $SAB$.

• Ребро $AB$ параллельно грани $SDE$, так как $AB \parallel DE$, а ребро $DE$ лежит в плоскости грани $SDE$. Ребро $AB$ не лежит в плоскости $SDE$.

• Ребро $FE$ параллельно грани $SBC$, так как $FE \parallel BC$, а ребро $BC$ лежит в плоскости грани $SBC$. Ребро $FE$ не лежит в плоскости $SBC$.

• Ребро $BC$ параллельно грани $SEF$, так как $BC \parallel EF$, а ребро $EF$ лежит в плоскости грани $SEF$. Ребро $BC$ не лежит в плоскости $SEF$.

• Ребро $AF$ параллельно грани $SCD$, так как $AF \parallel CD$, а ребро $CD$ лежит в плоскости грани $SCD$. Ребро $AF$ не лежит в плоскости $SCD$.

• Ребро $CD$ параллельно грани $SFA$, так как $CD \parallel FA$, а ребро $FA$ лежит в плоскости грани $SFA$. Ребро $CD$ не лежит в плоскости $SFA$.

Ответ: $ED$ параллельно грани $SAB$; $AB$ параллельно грани $SDE$; $FE$ параллельно грани $SBC$; $BC$ параллельно грани $SEF$; $AF$ параллельно грани $SCD$; $CD$ параллельно грани $SFA$.

7.8. Дан параллелограмм $ABCD$. Через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что $CD \parallel \alpha$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.
Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AB$ ($AB \subset \alpha$).
Плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью параллелограмма.

Найти:

Доказать, что $CD \parallel \alpha$.

Решение:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $CD$. Это можно записать как $AB \parallel CD$.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ проведена через сторону $AB$ параллелограмма. Это означает, что прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то есть $AB \subset \alpha$.

Известно, что если прямая не лежит в данной плоскости, но параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Это утверждение является признаком параллельности прямой и плоскости.

Применим этот признак к нашей ситуации:
1. Прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$. Это следует из условия, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью параллелограмма. Если бы прямая $CD$ лежала в плоскости $\alpha$, то, поскольку прямая $AB$ также лежит в $\alpha$, и $AB$ и $CD$ являются сторонами параллелограмма, это означало бы, что вся плоскость параллелограмма $ABCD$ лежит в $\alpha$, что противоречит условию.
2. Прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$), так как $ABCD$ — параллелограмм.
3. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).

Исходя из этих трех пунктов, по признаку параллельности прямой и плоскости, делаем вывод, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: $CD \parallel \alpha$.

жите, что $CD \parallel \alpha$.

7.9. Сторона $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежит в плоскости $\alpha$, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены остальные стороны $ABCDEF$ относительно плоскости $\alpha$?

Дано:

Правильный шестиугольник ABCDEF. Сторона AF лежит в плоскости \alpha. Плоскость шестиугольника не совпадает с плоскостью \alpha.

Найти:

Положение остальных сторон шестиугольника ABCDEF относительно плоскости \alpha.

Решение:

Пусть плоскость шестиугольника обозначим P_{hex}. По условию, AF \subset \alpha и P_{hex} \ne \alpha. Это означает, что плоскости P_{hex} и \alpha пересекаются по прямой, содержащей отрезок AF, и образуют между собой некоторый двугранный угол \theta \ne 0. Поскольку плоскость P_{hex} не совпадает с \alpha, то все вершины шестиугольника, кроме A и F, находятся по одну сторону от плоскости \alpha.

Для анализа положения каждой стороны, рассмотрим свойства правильного шестиугольника со стороной длиной s:
1. Все стороны равны по длине s.
2. Противоположные стороны параллельны: AB \parallel DE, BC \parallel EF, CD \parallel AF.
3. Расстояния от вершин до прямой, содержащей AF (измеренные в плоскости шестиугольника):
- Расстояние от A до AF равно 0.
- Расстояние от F до AF равно 0.
- Расстояние от B до AF равно s \cdot \sin(60^\circ) = s\frac{\sqrt{3}}{2}.
- Расстояние от E до AF равно s \cdot \sin(60^\circ) = s\frac{\sqrt{3}}{2}.
- Расстояние от C до AF равно s\sqrt{3} (это расстояние от стороны CD до AF, поскольку CD \parallel AF).
- Расстояние от D до AF равно s\sqrt{3}.
Расстояние от точки X в плоскости шестиугольника до плоскости \alpha (d(X, \alpha)) определяется как d(X, \alpha) = d(X, AF) \cdot \sin \theta, где \theta — угол между плоскостью шестиугольника и плоскостью \alpha. Так как плоскости не совпадают, \theta \ne 0, и, следовательно, \sin \theta \ne 0. Таким образом, расстояния от вершин до плоскости \alpha следующие:
- d(A, \alpha) = 0.
- d(F, \alpha) = 0.
- d(B, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta.
- d(E, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta.
- d(C, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta.
- d(D, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta.
Поскольку s > 0 и \sin \theta \ne 0, все расстояния d(B, \alpha), d(C, \alpha), d(D, \alpha), d(E, \alpha) строго больше нуля, что подтверждает, что вершины B, C, D, E не лежат в плоскости \alpha и находятся по одну её сторону.

Рассмотрим положение каждой стороны:

Положение стороны AF:
По условию задачи, сторона AF лежит в плоскости \alpha.
Ответ: Сторона AF лежит в плоскости \alpha.

Положение стороны AB:
Точка A лежит в плоскости \alpha (d(A, \alpha) = 0), а точка B не лежит в плоскости \alpha (d(B, \alpha) > 0). Если один конец отрезка лежит в плоскости, а другой нет, то отрезок пересекает плоскость в точке, являющейся концом отрезка, лежащим в плоскости.
Ответ: Сторона AB пересекает плоскость \alpha в точке A.

Положение стороны EF:
Аналогично стороне AB: Точка F лежит в плоскости \alpha (d(F, \alpha) = 0), а точка E не лежит в плоскости \alpha (d(E, \alpha) > 0).
Ответ: Сторона EF пересекает плоскость \alpha в точке F.

Положение стороны CD:
В правильном шестиугольнике сторона CD параллельна стороне AF (CD \parallel AF). Так как AF \subset \alpha и CD \parallel AF, то прямая, содержащая CD, параллельна плоскости \alpha. Поскольку d(C, \alpha) > 0 и d(D, \alpha) > 0, точки C и D не лежат в \alpha. Следовательно, отрезок CD не лежит в \alpha и параллелен ей.
Ответ: Сторона CD параллельна плоскости \alpha.

Положение стороны BC:
Точки B и C не лежат в плоскости \alpha (так как d(B, \alpha) > 0 и d(C, \alpha) > 0). Расстояния до плоскости \alpha для концов отрезка BC различны: d(B, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta и d(C, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta. Поскольку d(B, \alpha) \ne d(C, \alpha), прямая, содержащая BC, не параллельна плоскости \alpha, и значит, она пересекает плоскость \alpha в некоторой точке. Так как обе точки B и C находятся по одну сторону от плоскости \alpha, точка пересечения прямой BC с плоскостью \alpha лежит вне отрезка BC (на его продолжении). Следовательно, сам отрезок BC не пересекает плоскость \alpha и не лежит в ней.
Ответ: Сторона BC не параллельна плоскости \alpha, не лежит в ней и не имеет общих точек с плоскостью \alpha (пересечение происходит на продолжении).

Положение стороны DE:
Аналогично стороне BC: Точки D и E не лежат в плоскости \alpha (так как d(D, \alpha) > 0 и d(E, \alpha) > 0). Расстояния до плоскости \alpha для концов отрезка DE различны: d(D, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta и d(E, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta. Поскольку d(D, \alpha) \ne d(E, \alpha), прямая, содержащая DE, не параллельна плоскости \alpha, и значит, она пересекает плоскость \alpha в некоторой точке. Так как обе точки D и E находятся по одну сторону от плоскости \alpha, точка пересечения прямой DE с плоскостью \alpha лежит вне отрезка DE (на его продолжении). Следовательно, сам отрезок DE не пересекает плоскость \alpha и не лежит в ней.
Ответ: Сторона DE не параллельна плоскости \alpha, не лежит в ней и не имеет общих точек с плоскостью \alpha (пересечение происходит на продолжении).

7.10. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 7.8) прямая $AB_1$ параллельна плоскости:

а) $CDD_1$;

б) $BDC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Доказать, что прямая $AB_1$ параллельна плоскости: а) $CDD_1$; б) $BDC_1$.

Решение

а) CDD₁

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $CDD_1$ является одной из боковых граней куба, а именно гранью $CDD_1C_1$. Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. В кубе противоположные грани параллельны. Следовательно, плоскость грани $ABB_1A_1$ параллельна плоскости грани $CDD_1C_1$. Прямая $AB_1$ полностью лежит в плоскости $ABB_1A_1$, поскольку точки $A$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости. По определению, если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна другой плоскости. Таким образом, прямая $AB_1$ параллельна плоскости $CDD_1C_1$, то есть плоскости $CDD_1$.

Ответ: Доказано.

б) BDC₁

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим четырехугольник $ADC_1B_1$. В этом четырехугольнике сторона $AD$ параллельна стороне $B_1C_1$, так как $AD$ является ребром нижней грани, а $B_1C_1$ — ребром верхней грани, и обе эти грани параллельны. Более строго, $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, следовательно, $AD \parallel B_1C_1$. Так как это куб, все его ребра равны, поэтому $AD = B_1C_1$. Поскольку в четырехугольнике $ADC_1B_1$ две противоположные стороны ($AD$ и $B_1C_1$) параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Таким образом, прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$. Прямая $DC_1$ лежит в плоскости $BDC_1$, поскольку точки $D$ и $C_1$ являются вершинами, которые определяют эту плоскость. Если прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$, которая лежит в плоскости $BDC_1$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ параллельна плоскости $BDC_1$.

Ответ: Доказано.

$k_a$, $S_{BD_1}$, $H_1$, $S_{BCD_1}$, $S_{BCD_1}$

7.11.Плоскость

проходит через середины двух сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника.

Докажите, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $M$ – середина стороны $AB$.

Точка $N$ – середина стороны $AC$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$.

Плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью треугольника $ABC$.

Найти:

Доказать, что плоскость $\alpha$ параллельна стороне $BC$ треугольника $ABC$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

По теореме о средней линии треугольника, средняя линия $MN$ параллельна третьей стороне $BC$ и равна ее половине: $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC$.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $MN$, лежит в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямую $BC$ и плоскость $\alpha$.

Нам дано, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью треугольника $ABC$. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, но не совпадает с прямой $MN$, и плоскости не совпадают, то прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$. (Если бы $BC$ лежала в $\alpha$, то так как $MN \parallel BC$ и $MN$ лежит в $\alpha$, а $M, N$ также лежат в плоскости $ABC$, то плоскость $ABC$ должна была бы совпасть с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию).

Применим признак параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае:

1. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$.
2. Прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.
3. Прямая $BC$ параллельна прямой $MN$ ($BC \parallel MN$).

Исходя из этих трех условий, по признаку параллельности прямой и плоскости, делаем вывод, что прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: