Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.14. Сколько пар параллельных ребер имеется у правильной шестиугольной призмы?

Дано:

Геометрическая фигура — правильная шестиугольная призма.

Найти:

Количество пар параллельных ребер.

Решение:

Правильная шестиугольная призма имеет двенадцатиугольное основание (шестиугольник) и шесть боковых граней. Общее количество ребер у шестиугольной призмы: $3 \times 6 = 18$ ребер. Эти ребра можно классифицировать по типу и ориентации:

1. Боковые ребра: 6 ребер, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований.

2. Ребра оснований: 6 ребер на верхнем основании и 6 ребер на нижнем основании, всего 12 ребер.

Рассмотрим количество пар параллельных ребер, разбивая их на группы.

Пары боковых ребер:

Все 6 боковых ребер правильной призмы параллельны друг другу. Чтобы найти количество пар из $n$ параллельных ребер, используем формулу для числа сочетаний: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Для 6 боковых ребер количество пар равно: $C_6^2 = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Пары ребер оснований (включая между основаниями):

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. У шестиугольника есть 3 направления (или набора) параллельных сторон. Каждое такое направление включает 2 ребра на одном основании (противоположные) и 2 ребра на другом основании (также противоположные и параллельные соответствующим на первом основании).

Рассмотрим одну такую группу направлений. Например, если вершины верхнего основания обозначены $A_1, \dots, A_6$, а нижнего $B_1, \dots, B_6$, то ребра $A_1A_2$, $A_4A_5$, $B_1B_2$, $B_4B_5$ составляют одну группу из 4 параллельных ребер.

Количество пар параллельных ребер в одной такой группе из 4 ребер: $C_4^2 = \frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Поскольку существует 3 таких группы направлений для ребер оснований, общее количество пар параллельных ребер оснований составляет $3 \times 6 = 18$.

Общее количество пар параллельных ребер:

Общее количество пар параллельных ребер равно сумме пар боковых ребер и пар ребер оснований, так как боковые ребра не параллельны ребрам оснований.

Общее количество = (пары боковых ребер) + (пары ребер оснований) $= 15 + 18 = 33$.

Ответ: 33.

5.15. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.4) параллельны прямые:
а) $AC$ и $A_1C_1$;
б) $AB_1$ и $DC_1$.

Рис. 5.4

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Доказать, что:

а) прямые $AC$ и $A_1C_1$ параллельны;

б) прямые $AB_1$ и $DC_1$ параллельны.

Решение:

а) AC и A₁C₁

Рассмотрим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$.

Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов, составляющих стороны основания: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Аналогично, вектор $\vec{A_1C_1}$ можно представить как сумму векторов сторон верхнего основания: $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1}$.

По определению параллелепипеда, его противоположные грани параллельны и равны. Следовательно, основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны и параллельны.

Из равенства оснований следует, что соответствующие стороны равны и параллельны: $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$ и $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$.

Подставим эти равенства в выражения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

$\vec{A_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BC}$ (поскольку $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$)

Таким образом, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.

Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ равны, то отрезки $AC$ и $A_1C_1$ параллельны и равны по длине.

Ответ: Прямые $AC$ и $A_1C_1$ параллельны.

б) AB₁ и DC₁

Рассмотрим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Вектор $\vec{AB_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{DC_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$.

В параллелепипеде:

1. Противоположные стороны основания параллельны и равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

2. Боковые ребра параллельны и равны: $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Подставим эти равенства в выражение для вектора $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Теперь подставим $\vec{DC}$ вместо $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$ вместо $\vec{BB_1}$:

$\vec{AB_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Мы видим, что полученное выражение равно вектору $\vec{DC_1}$:

$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Поскольку векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ равны, то отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны и равны по длине.

Ответ: Прямые $AB_1$ и $DC_1$ параллельны.

5.16. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые:

а) $AD$ и $A_1D_1$;

б) $AB_1$ и $ED_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти:

Доказать параллельность прямых:

a) $AD$ и $A_1D_1$;

б) $AB_1$ и $ED_1$.

Решение:

а) AD и A₁D₁

По определению призмы, её боковые рёбра параллельны и равны. Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми рёбрами данной призмы, следовательно, $AA_1 \parallel DD_1$ и $AA_1 = DD_1$. Рассмотрим четырёхугольник $ADD_1A_1$. Поскольку его противоположные стороны $AA_1$ и $DD_1$ параллельны и равны, то четырёхугольник $ADD_1A_1$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Таким образом, $AD \parallel A_1D_1$.

Ответ:

б) AB₁ и ED₁

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $ED$ и $AB = ED$. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{ED}$ равны: $\vec{AB} = \vec{ED}$. Теперь рассмотрим боковые рёбра призмы. По определению призмы, её боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, боковые рёбра $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны: $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$. Рассмотрим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{ED_1}$. Вектор $\vec{AB_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Вектор $\vec{ED_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1}$. Поскольку $\vec{AB} = \vec{ED}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{ED_1}$. Равенство двух ненулевых векторов означает, что они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину. Следовательно, прямые, на которых лежат эти векторы (отрезки), параллельны. Таким образом, $AB_1 \parallel ED_1$.

Ответ:

5.17. В тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G, H$ середины ребер соответственно $AB, AD, BC, CD$ (рис. 5.10). Докажите, что прямые $EF$ и $GH$ параллельны.

Рис. 5.10

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Точки $E, F, G, H$ — середины ребер $AB, AD, BC, CD$ соответственно.

Найти:

Доказать, что прямые $EF$ и $GH$ параллельны.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABD$.

По условию, точка $E$ является серединой ребра $AB$, а точка $F$ является серединой ребра $AD$.

Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABD$.

По свойству средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Таким образом, $EF \parallel BD$ и $EF = \frac{1}{2}BD$.

Рассмотрим треугольник $BCD$.

По условию, точка $G$ является серединой ребра $BC$, а точка $H$ является серединой ребра $CD$.

Следовательно, отрезок $GH$ является средней линией треугольника $BCD$.

По свойству средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Таким образом, $GH \parallel BD$ и $GH = \frac{1}{2}BD$.

Из двух приведенных выше утверждений следует, что прямая $EF$ параллельна прямой $BD$ ($EF \parallel BD$), и прямая $GH$ также параллельна прямой $BD$ ($GH \parallel BD$).

По свойству транзитивности параллельности прямых: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, прямые $EF$ и $GH$ параллельны.

Ответ:

Доказано, что прямые $EF$ и $GH$ параллельны.

5.18. Докажите, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой.

Решение

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Нам необходимо доказать, что через точку $M$ проходит единственная прямая, параллельная прямой $a$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования такой прямой и доказательство её единственности.

1. Существование:

Поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$, существует единственная плоскость $\alpha$, которая содержит как прямую $a$, так и точку $M$. Это утверждение является одной из основных аксиом стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Рассмотрим ситуацию в этой плоскости $\alpha$. В евклидовой геометрии, согласно аксиоме параллельных прямых (или пятому постулату Евклида), через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной прямой. Применяя эту аксиому к плоскости $\alpha$, через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходит единственная прямая $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $a$. Таким образом, мы показали существование такой прямой в пространстве.

2. Единственность:

Предположим противное: пусть существуют две различные прямые $b_1$ и $b_2$, которые проходят через точку $M$ и обе параллельны прямой $a$. То есть, $M \in b_1$, $M \in b_2$, $b_1 \parallel a$, $b_2 \parallel a$, и при этом $b_1 \neq b_2$.

По определению параллельных прямых, если прямые $b_1$ и $a$ параллельны, то они компланарны (лежат в одной плоскости) и не имеют общих точек. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b_1$ и не лежит на прямой $a$, прямая $b_1$ и прямая $a$ вместе с точкой $M$ определяют ту самую единственную плоскость $\alpha$, о которой говорилось в части доказательства существования. Следовательно, прямая $b_1$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b_1 \subset \alpha$).

Аналогично, поскольку прямая $b_2$ также проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$, она также должна лежать в той же плоскости $\alpha$ ($b_2 \subset \alpha$).

Таким образом, мы пришли к ситуации, когда в плоскости $\alpha$ существуют две различные прямые $b_1$ и $b_2$, которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны прямой $a$. Однако это противоречит аксиоме параллельных прямых в плоскости, которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следовательно, прямые $b_1$ и $b_2$ должны совпадать, что противоречит нашему исходному предположению о том, что они различны.

Из этого противоречия следует, что наше предположение о существовании двух различных прямых было неверным. Значит, прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $a$, является единственной.

Из доказательств существования и единственности следует, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

5.19.Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные прямые.

Примерами реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные прямые, могут служить:

• рельсы железнодорожного пути;
• противоположные края дорожного полотна или тротуара;
• линии разметки на спортивной беговой дорожке;
• противоположные стороны прямоугольных объектов, таких как книга, стол, классная доска;
• струны музыкальных инструментов (например, гитары или пианино);
• линии в школьной тетради или на линованном листе бумаги;
• боковые стойки лестницы или ступени эскалатора;
• полки в шкафу или на стеллаже.

Ответ: железнодорожные рельсы, края дороги, линии разметки на спортивной дорожке, противоположные стороны прямоугольных предметов (например, книги, стола), струны гитары, линии в тетради, боковые стойки лестницы, полки в шкафу.

5.20. В пространстве дана прямая и точка, ей не принадлежащая. Как вы думаете, сколько прямых проходит через данную точку, не пересекая данную прямую?

Решение

Рассмотрим прямую $L$ и точку $P$, не принадлежащую ей, в трехмерном пространстве.

Прямая $L$ и точка $P$ всегда определяют единственную плоскость. Пусть эта плоскость будет $\alpha$.

Теперь рассмотрим все прямые, проходящие через точку $P$. Мы можем разделить их на две группы относительно плоскости $\alpha$:

1. Прямые, лежащие в плоскости $\alpha$.

Среди прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через $P$, только одна прямая будет параллельна $L$. По аксиоме параллельных прямых (пятый постулат Евклида в современной формулировке), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Эта прямая не пересекает $L$. Все остальные прямые, проходящие через $P$ и лежащие в плоскости $\alpha$, не параллельны $L$, и поскольку они компланарны с $L$, они обязательно пересекут $L$ в одной точке.

2. Прямые, не лежащие в плоскости $\alpha$.

Любая прямая $L'$, проходящая через точку $P$ и не лежащая в плоскости $\alpha$, не может пересекать прямую $L$. Если бы $L'$ пересекала $L$, то они бы имели общую точку. В этом случае $L$ и $L'$ были бы компланарны (определяли бы одну плоскость). Но прямая $L$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $L'$ проходит через точку $P$ и не лежит в плоскости $\alpha$. Это противоречит предположению о компланарности $L$ и $L'$. Следовательно, прямые $L$ и $L'$ не являются компланарными и не пересекаются, то есть они являются скрещивающимися.

Через точку $P$ можно провести бесконечное множество прямых, которые не лежат в плоскости $\alpha$. Эти прямые будут скрещивающимися с прямой $L$. Например, если прямая $L$ - это ось $x$, а точка $P$ - $(0, 1, 0)$, то плоскость $\alpha$ - это плоскость $xy$ (уравнение $z=0$). Любая прямая, проходящая через $(0, 1, 0)$ и имеющая ненулевую $z$-координату в своем направляющем векторе (например, направляющий вектор $(a, b, c)$ где $c \ne 0$), не будет лежать в плоскости $xy$ и не будет пересекать ось $x$. Таких прямых бесконечно много, так как значения $a$ и $b$ могут быть любыми действительными числами, а $c$ - любым ненулевым действительным числом.

Таким образом, существует одна прямая, параллельная данной, и бесконечное множество прямых, скрещивающихся с данной прямой. Все эти прямые проходят через заданную точку и не пересекают данную прямую.

Ответ: Бесконечно много.