Номер 5.18, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Геометрия, 10 класс Учебник, авторы: Смирнов Виктор Анатольевич, Туяков Есенкельды Алыбаевич, издательство Мектеп, Алматы, 2019, часть Геометрия, 10 класс Учебник, авторы: Смирнов Виктор Анатольевич, Туяков Есенкельды Алыбаевич, издательство Мектеп, Алматы, 2019, часть

Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.

Тип: Учебник

Издательство: Мектеп

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-07-1146-4

Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 10 классе

Глава I. Аксиомы стереометрии. Параллельность в пространстве. Параграф 5. Параллельность прямых в пространстве - номер 5.18, страница 45.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№5.18 (с. 45)
Условие. №5.18 (с. 45)
ГДЗ Геометрия, 10 класс Учебник, авторы: Смирнов Виктор Анатольевич, Туяков Есенкельды Алыбаевич, издательство Мектеп, Алматы, 2019, страница 45, номер 5.18, Условие

5.18. Докажите, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой.

Решение. №5.18 (с. 45)
ГДЗ Геометрия, 10 класс Учебник, авторы: Смирнов Виктор Анатольевич, Туяков Есенкельды Алыбаевич, издательство Мектеп, Алматы, 2019, страница 45, номер 5.18, Решение
Решение 2 (rus). №5.18 (с. 45)

Решение

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Нам необходимо доказать, что через точку $M$ проходит единственная прямая, параллельная прямой $a$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования такой прямой и доказательство её единственности.

1. Существование:

Поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$, существует единственная плоскость $\alpha$, которая содержит как прямую $a$, так и точку $M$. Это утверждение является одной из основных аксиом стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Рассмотрим ситуацию в этой плоскости $\alpha$. В евклидовой геометрии, согласно аксиоме параллельных прямых (или пятому постулату Евклида), через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной прямой. Применяя эту аксиому к плоскости $\alpha$, через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходит единственная прямая $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $a$. Таким образом, мы показали существование такой прямой в пространстве.

2. Единственность:

Предположим противное: пусть существуют две различные прямые $b_1$ и $b_2$, которые проходят через точку $M$ и обе параллельны прямой $a$. То есть, $M \in b_1$, $M \in b_2$, $b_1 \parallel a$, $b_2 \parallel a$, и при этом $b_1 \neq b_2$.

По определению параллельных прямых, если прямые $b_1$ и $a$ параллельны, то они компланарны (лежат в одной плоскости) и не имеют общих точек. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b_1$ и не лежит на прямой $a$, прямая $b_1$ и прямая $a$ вместе с точкой $M$ определяют ту самую единственную плоскость $\alpha$, о которой говорилось в части доказательства существования. Следовательно, прямая $b_1$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b_1 \subset \alpha$).

Аналогично, поскольку прямая $b_2$ также проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$, она также должна лежать в той же плоскости $\alpha$ ($b_2 \subset \alpha$).

Таким образом, мы пришли к ситуации, когда в плоскости $\alpha$ существуют две различные прямые $b_1$ и $b_2$, которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны прямой $a$. Однако это противоречит аксиоме параллельных прямых в плоскости, которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следовательно, прямые $b_1$ и $b_2$ должны совпадать, что противоречит нашему исходному предположению о том, что они различны.

Из этого противоречия следует, что наше предположение о существовании двух различных прямых было неверным. Значит, прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $a$, является единственной.

Из доказательств существования и единственности следует, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 5.18 расположенного на странице 45 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №5.18 (с. 45), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться