Номер 5.18, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.18. Докажите, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой.

Решение

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Нам необходимо доказать, что через точку $M$ проходит единственная прямая, параллельная прямой $a$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования такой прямой и доказательство её единственности.

1. Существование:

Поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$, существует единственная плоскость $\alpha$, которая содержит как прямую $a$, так и точку $M$. Это утверждение является одной из основных аксиом стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Рассмотрим ситуацию в этой плоскости $\alpha$. В евклидовой геометрии, согласно аксиоме параллельных прямых (или пятому постулату Евклида), через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной прямой. Применяя эту аксиому к плоскости $\alpha$, через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходит единственная прямая $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $a$. Таким образом, мы показали существование такой прямой в пространстве.

2. Единственность:

Предположим противное: пусть существуют две различные прямые $b_1$ и $b_2$, которые проходят через точку $M$ и обе параллельны прямой $a$. То есть, $M \in b_1$, $M \in b_2$, $b_1 \parallel a$, $b_2 \parallel a$, и при этом $b_1 \neq b_2$.

По определению параллельных прямых, если прямые $b_1$ и $a$ параллельны, то они компланарны (лежат в одной плоскости) и не имеют общих точек. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b_1$ и не лежит на прямой $a$, прямая $b_1$ и прямая $a$ вместе с точкой $M$ определяют ту самую единственную плоскость $\alpha$, о которой говорилось в части доказательства существования. Следовательно, прямая $b_1$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b_1 \subset \alpha$).

Аналогично, поскольку прямая $b_2$ также проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$, она также должна лежать в той же плоскости $\alpha$ ($b_2 \subset \alpha$).

Таким образом, мы пришли к ситуации, когда в плоскости $\alpha$ существуют две различные прямые $b_1$ и $b_2$, которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны прямой $a$. Однако это противоречит аксиоме параллельных прямых в плоскости, которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следовательно, прямые $b_1$ и $b_2$ должны совпадать, что противоречит нашему исходному предположению о том, что они различны.

Из этого противоречия следует, что наше предположение о существовании двух различных прямых было неверным. Значит, прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $a$, является единственной.

Из доказательств существования и единственности следует, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.