Номер 6.2, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.2. Сколько прямых, скрещивающихся с данной прямой, проходит через точку, взятую вне этой прямой?

Дано:

Дана прямая $l$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой ($A \notin l$). Предполагается трехмерное евклидово пространство.

Найти:

Количество прямых, которые проходят через точку $A$ и скрещиваются с прямой $l$.

Решение:

Для того чтобы две прямые в трехмерном пространстве скрещивались, они должны одновременно не быть параллельными и не пересекаться. Это означает, что они не лежат в одной плоскости.

Пусть дана прямая $l$ и точка $A$, не лежащая на ней ($A \notin l$).

Рассмотрим плоскость $\pi$, которая однозначно определяется прямой $l$ и точкой $A$. Такая плоскость существует и является единственной, поскольку точка $A$ не лежит на прямой $l$.

Теперь рассмотрим любую прямую $m$, проходящую через точку $A$. Возможны два случая:

1. Прямая $m$ лежит в плоскости $\pi$.

В этом случае прямые $m$ и $l$ являются компланарными (лежат в одной плоскости $\pi$). Компланарные прямые либо пересекаются, либо параллельны. Ни в том, ни в другом случае они не могут быть скрещивающимися по определению. В плоскости $\pi$ существует ровно одна прямая, проходящая через $A$ и параллельная $l$. Все остальные прямые, проходящие через $A$ в плоскости $\pi$, будут пересекать $l$. Следовательно, ни одна прямая, лежащая в плоскости $\pi$ и проходящая через $A$, не является скрещивающейся с $l$.

2. Прямая $m$ не лежит в плоскости $\pi$.

Предположим, что такая прямая $m$ пересекает прямую $l$ в некоторой точке $P$. Тогда точки $A$ и $P$ лежат на прямой $m$. Поскольку $P$ также лежит на $l$, то прямые $m$ и $l$ лежат в одной плоскости, определяемой точкой $A$ и прямой $l$, то есть в плоскости $\pi$. Это противоречит нашему предположению, что прямая $m$ не лежит в плоскости $\pi$. Следовательно, прямая $m$ не может пересекать прямую $l$.

Предположим, что такая прямая $m$ параллельна прямой $l$. Если $m \parallel l$ и $m$ проходит через $A$, то прямые $m$ и $l$ являются компланарными. Плоскость, содержащая $m$ и $l$, должна быть плоскостью $\pi$, так как $\pi$ - единственная плоскость, содержащая $A$ (на $m$) и $l$. Это также противоречит нашему предположению, что прямая $m$ не лежит в плоскости $\pi$. Следовательно, прямая $m$ не может быть параллельной прямой $l$.

Из вышеизложенного следует, что любая прямая $m$, проходящая через точку $A$ и не лежащая в плоскости $\pi$, не пересекает прямую $l$ и не параллельна ей. По определению, такие прямые $m$ являются скрещивающимися с прямой $l$.

Существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку $A$. Эти прямые заполняют все пространство, исходя из точки $A$. Прямые, лежащие в плоскости $\pi$, образуют пучок прямых в этой плоскости. Все остальные прямые, проходящие через $A$ (то есть те, которые не лежат в плоскости $\pi$), будут скрещиваться с $l$. Поскольку таких "остальных" прямых бесконечно много (каждая из них определяет свою плоскость с $l$, отличную от $\pi$), то количество прямых, скрещивающихся с данной прямой и проходящих через заданную точку, не лежащую на ней, является бесконечным.

Ответ:

Бесконечное множество.