Номер 5.20, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.20. В пространстве дана прямая и точка, ей не принадлежащая. Как вы думаете, сколько прямых проходит через данную точку, не пересекая данную прямую?

Решение

Рассмотрим прямую $L$ и точку $P$, не принадлежащую ей, в трехмерном пространстве.

Прямая $L$ и точка $P$ всегда определяют единственную плоскость. Пусть эта плоскость будет $\alpha$.

Теперь рассмотрим все прямые, проходящие через точку $P$. Мы можем разделить их на две группы относительно плоскости $\alpha$:

1. Прямые, лежащие в плоскости $\alpha$.

Среди прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через $P$, только одна прямая будет параллельна $L$. По аксиоме параллельных прямых (пятый постулат Евклида в современной формулировке), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Эта прямая не пересекает $L$. Все остальные прямые, проходящие через $P$ и лежащие в плоскости $\alpha$, не параллельны $L$, и поскольку они компланарны с $L$, они обязательно пересекут $L$ в одной точке.

2. Прямые, не лежащие в плоскости $\alpha$.

Любая прямая $L'$, проходящая через точку $P$ и не лежащая в плоскости $\alpha$, не может пересекать прямую $L$. Если бы $L'$ пересекала $L$, то они бы имели общую точку. В этом случае $L$ и $L'$ были бы компланарны (определяли бы одну плоскость). Но прямая $L$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $L'$ проходит через точку $P$ и не лежит в плоскости $\alpha$. Это противоречит предположению о компланарности $L$ и $L'$. Следовательно, прямые $L$ и $L'$ не являются компланарными и не пересекаются, то есть они являются скрещивающимися.

Через точку $P$ можно провести бесконечное множество прямых, которые не лежат в плоскости $\alpha$. Эти прямые будут скрещивающимися с прямой $L$. Например, если прямая $L$ - это ось $x$, а точка $P$ - $(0, 1, 0)$, то плоскость $\alpha$ - это плоскость $xy$ (уравнение $z=0$). Любая прямая, проходящая через $(0, 1, 0)$ и имеющая ненулевую $z$-координату в своем направляющем векторе (например, направляющий вектор $(a, b, c)$ где $c \ne 0$), не будет лежать в плоскости $xy$ и не будет пересекать ось $x$. Таких прямых бесконечно много, так как значения $a$ и $b$ могут быть любыми действительными числами, а $c$ - любым ненулевым действительным числом.

Таким образом, существует одна прямая, параллельная данной, и бесконечное множество прямых, скрещивающихся с данной прямой. Все эти прямые проходят через заданную точку и не пересекают данную прямую.

Ответ: Бесконечно много.