Номер 6.1, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.1. Верно ли, что если две прямые лежат в разных плоскостях, то они скрещиваются?

Для ответа на этот вопрос необходимо уточнить определение скрещивающихся прямых и понять, что означает фраза "две прямые лежат в разных плоскостях".

Определение скрещивающихся прямых: Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что не существует такой плоскости, которая одновременно содержит обе эти прямые. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны (поскольку пересекающиеся и параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости).

Интерпретация условия: Фраза "если две прямые лежат в разных плоскостях" в контексте геометрии обычно понимается как "если не существует общей плоскости, которая содержит обе эти прямые".

Рассмотрим все возможные расположения двух прямых в трехмерном пространстве:

Пересекающиеся прямые: Они имеют одну общую точку. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести единственную плоскость. Таким образом, они лежат в одной плоскости.

Параллельные прямые: Они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. Через две параллельные прямые всегда можно провести единственную плоскость. Таким образом, они также лежат в одной плоскости.

Скрещивающиеся прямые: Они не имеют общих точек и не параллельны. По определению, они не лежат в одной плоскости.

Таким образом, если две прямые не лежат в одной плоскости (то есть не существует общей плоскости, содержащей обе прямые), то они не могут быть ни пересекающимися, ни параллельными. Единственный оставшийся вариант их взаимного расположения — это быть скрещивающимися.

Важно отметить, что если бы фраза "две прямые лежат в разных плоскостях" означала лишь, что прямая $l_1$ лежит в некоторой плоскости $P_1$, а прямая $l_2$ лежит в некоторой плоскости $P_2$, и при этом $P_1 \ne P_2$, то утверждение было бы неверным. Например, две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$ лежат в общей плоскости $P_{общая}$. Но прямая $l_1$ также лежит в бесконечном множестве других плоскостей (например, плоскость, проходящая через $l_1$ и точку, не лежащую в $P_{общая}$), равно как и $l_2$. Мы всегда можем выбрать такие $P_1$ и $P_2$, что $P_1 \ne P_2$, даже если $l_1$ и $l_2$ пересекаются. Однако, стандартное употребление этой фразы в геометрии имеет более строгий смысл, указывая на отсутствие общей плоскости.

Ответ: Да, это верно.