Номер 6.6, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.6. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у тетраэдра?

Дано:

Геометрическая фигура – тетраэдр.

Найти:

Количество пар скрещивающихся ребер.

Решение

1. Определение тетраэдра: Тетраэдр – это простейший многогранник, состоящий из 4 вершин, 4 граней (треугольников) и 6 ребер.

2. Общее количество ребер: Пусть $N$ – число ребер тетраэдра. У тетраэдра $N = 6$ ребер.

3. Общее количество пар ребер: Количество способов выбрать 2 ребра из 6 можно найти по формуле сочетаний $C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=6$ (общее количество ребер) и $k=2$ (количество ребер в паре).

Количество всех возможных пар ребер:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Таким образом, всего у тетраэдра можно составить 15 различных пар ребер.

4. Количество пересекающихся пар ребер: Две прямые в пространстве пересекаются, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Ребра тетраэдра пересекаются, если они имеют общую вершину.

У тетраэдра 4 вершины. Из каждой вершины исходит 3 ребра. Например, из вершины A выходят ребра AB, AC, AD. Эти ребра образуют пары, которые пересекаются в вершине A: (AB, AC), (AB, AD), (AC, AD).

Количество пар ребер, исходящих из одной вершины, равно $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.

Поскольку таких вершин 4, общее количество пересекающихся пар ребер будет $4 \times 3 = 12$.

5. Количество скрещивающихся пар ребер: Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. В тетраэдре нет параллельных ребер, так как все его грани – треугольники. Следовательно, каждая пара ребер либо пересекается, либо является скрещивающейся.

Количество скрещивающихся пар ребер можно найти, вычтя из общего количества пар ребер количество пересекающихся пар:

Количество скрещивающихся пар = Общее количество пар - Количество пересекающихся пар

Количество скрещивающихся пар $= 15 - 12 = 3$.

Для наглядности, если обозначить вершины тетраэдра A, B, C, D, то пары скрещивающихся ребер будут следующими (ребра, не имеющие общих вершин и не лежащие в одной грани):

1. Ребро AB и ребро CD

2. Ребро AC и ребро BD

3. Ребро AD и ребро BC

Ответ: 3