Номер 6.10, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.10. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у куба?

Дано:

Куб.

Найти:

Количество пар скрещивающихся ребер.

Решение:

Куб имеет 12 ребер. Для определения количества пар скрещивающихся ребер воспользуемся методом исключения. Сначала найдем общее количество возможных пар ребер, затем вычтем количество пар, которые не являются скрещивающимися (то есть являются либо параллельными, либо пересекающимися).

1. Общее количество пар ребер:

Количество пар ребер в кубе, имеющем 12 ребер, можно вычислить как число сочетаний из 12 по 2:

$C_{12}^2 = \frac{12 \times (12 - 1)}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 6 \times 11 = 66$.

Таким образом, всего существует 66 уникальных пар ребер.

2. Количество пар нескрещивающихся ребер:

Нескрещивающиеся ребра могут быть либо параллельными, либо пересекающимися.

a) Пары пересекающихся ребер:

Каждая вершина куба соединяет 3 ребра. Количество пар ребер, пересекающихся в одной вершине, равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3 \times (3 - 1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

У куба 8 вершин, поэтому общее количество пар пересекающихся ребер равно $8 \times 3 = 24$.

b) Пары параллельных ребер:

Ребра куба можно разделить на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой (например, 4 ребра вдоль оси X, 4 вдоль оси Y, 4 вдоль оси Z). Количество пар ребер в одной группе из 4 параллельных ребер равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4 \times (4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Так как существует 3 такие группы, общее количество пар параллельных ребер равно $3 \times 6 = 18$.

Общее количество нескрещивающихся пар ребер (пересекающихся + параллельных) составляет $24 + 18 = 42$.

3. Количество пар скрещивающихся ребер:

Количество скрещивающихся пар ребер равно общему количеству пар ребер минус количество нескрещивающихся пар ребер:

Количество скрещивающихся пар = $66 - 42 = 24$.

Альтернативный способ подсчета:

Рассмотрим одно произвольное ребро куба. Например, ребро AB.

• С этим ребром пересекаются 4 других ребра (по 2 на каждой вершине, к которой примыкает AB: 2 у вершины A, 2 у вершины B).
• Параллельными к ребру AB являются 3 других ребра (например, CD, A'B', C'D').
• И одно само ребро AB.

Таким образом, для выбранного ребра из 12 ребер всего $1 + 4 + 3 = 8$ ребер не скрещиваются с выбранным ребром (само, пересекающиеся, параллельные).

Количество ребер, скрещивающихся с выбранным ребром: $12 - 8 = 4$.

Поскольку каждое из 12 ребер куба скрещивается с 4 другими ребрами, и каждая пара учитывается дважды (например, пара (ребро1, ребро2) и (ребро2, ребро1)), общее количество пар скрещивающихся ребер будет:

$\frac{12 \times 4}{2} = 24$.

Ответ: 24