Номер 6.4, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром $SA$ для:

а) четырехугольной пирамиды $SABCD$ (рис. 6.4, а);

б) шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ (рис. 6.4, б).

Рис. 6.4

a) четырехугольной пирамиды $SABCD$ (рис. 6.4, а)

Решение

Ребро $SA$ является одним из ребер пирамиды. Чтобы найти ребра, скрещивающиеся с $SA$, необходимо исключить те, которые лежат с ним в одной плоскости (то есть пересекаются с ним или параллельны ему).

Ребра, пересекающие ребро $SA$, это те, которые имеют с ним общую вершину. Такими являются:

• Ребра, исходящие из вершины $S$ (кроме самого $SA$): $SB$, $SC$, $SD$.
• Ребра, исходящие из вершины $A$ (кроме самого $SA$): $AB$, $AD$.

Таким образом, ребра $SB$, $SC$, $SD$, $AB$, $AD$ пересекаются с ребром $SA$ и не являются скрещивающимися.

В обычных пирамидах боковые ребра не параллельны ребрам основания. Также, в общем случае, отсутствуют пары параллельных ребер между боковым ребром $SA$ и другими ребрами пирамиды.

Следовательно, скрещивающимися с ребром $SA$ будут те ребра основания, которые не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$. Среди ребер основания $ABCD$ ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$):

• $AB$ и $DA$ имеют общую вершину $A$ с $SA$.
• $BC$ и $CD$ не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$. Они также не параллельны $SA$.

Поэтому ребра $BC$ и $CD$ являются скрещивающимися с ребром $SA$.

Ответ: $BC$, $CD$

б) шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ (рис. 6.4, б)

Решение

По аналогии с пунктом а), для ребра $SA$ в шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ определим ребра, которые пересекаются с ним:

• Ребра, исходящие из вершины $S$ (кроме $SA$): $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, $SF$.
• Ребра, исходящие из вершины $A$ (кроме $SA$): $AB$, $AF$.

Таким образом, ребра $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, $SF$, $AB$, $AF$ пересекаются с ребром $SA$ и не являются скрещивающимися.

Скрещивающимися с ребром $SA$ будут те ребра основания $ABCDEF$, которые не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$, и не параллельны $SA$. Среди ребер основания ($AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$):

• $AB$ и $FA$ имеют общую вершину $A$ с $SA$.
• $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$. Они также не параллельны $SA$.

Поэтому ребра $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ являются скрещивающимися с ребром $SA$.

Ответ: $BC$, $CD$, $DE$, $EF$