Вопрос?, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Верно ли, что две прямые, скрещивающиеся с третьей прямой, скрещиваются между собой. Приведите пример.

Решение

Утверждение о том, что две прямые, скрещивающиеся с третьей прямой, обязательно скрещиваются между собой, неверно. Прямые, скрещивающиеся с третьей прямой, могут быть параллельными друг другу или пересекаться.

Напомним, что прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются и не параллельны.

Пример:

Рассмотрим трехмерную систему координат $(x, y, z)$.

Пусть третья прямая $l_3$ совпадает с осью $x$. Точки на этой прямой имеют координаты $(x, 0, 0)$. Ее направляющий вектор равен $(1, 0, 0)$.

Рассмотрим первую прямую $l_1$, параллельную оси $z$ и проходящую через точку $(0, 1, 0)$. Точки на этой прямой имеют координаты $(0, 1, z)$. Ее направляющий вектор равен $(0, 0, 1)$.

Проверим, являются ли $l_1$ и $l_3$ скрещивающимися прямыми:

Они не параллельны, так как их направляющие векторы $(1, 0, 0)$ и $(0, 0, 1)$ не коллинеарны.

Они не пересекаются. Если бы они пересекались в точке $(x_0, y_0, z_0)$, то $y_0$ для $l_3$ был бы равен $0$, а для $l_1$ — $1$, что невозможно ($0 \ne 1$).

Следовательно, $l_1$ и $l_3$ являются скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим вторую прямую $l_2$, также параллельную оси $z$ и проходящую через точку $(0, 2, 0)$. Точки на этой прямой имеют координаты $(0, 2, z)$. Ее направляющий вектор равен $(0, 0, 1)$.

Проверим, являются ли $l_2$ и $l_3$ скрещивающимися прямыми:

Они не параллельны, так как их направляющие векторы $(1, 0, 0)$ и $(0, 0, 1)$ не коллинеарны.

Они не пересекаются. Если бы они пересекались в точке $(x_0, y_0, z_0)$, то $y_0$ для $l_3$ был бы равен $0$, а для $l_2$ — $2$, что невозможно ($0 \ne 2$).

Следовательно, $l_2$ и $l_3$ также являются скрещивающимися прямыми.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $l_1$ и $l_2$:

Их направляющие векторы равны $(0, 0, 1)$, что означает, что $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Они не пересекаются, так как $y$-координата для $l_1$ всегда равна $1$, а для $l_2$ всегда равна $2$.

Поскольку $l_1$ и $l_2$ параллельны, они не являются скрещивающимися прямыми.

Таким образом, мы построили пример, когда две прямые ($l_1$ и $l_2$), скрещивающиеся с третьей прямой ($l_3$), не скрещиваются между собой (они параллельны).

Ответ:

Нет, это утверждение неверно.