Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте доказать это самостоятельно.

Докажите, что если через две прямые нельзя провести плоскость, то эти прямые скрещиваются.

Докажите, что если через две прямые нельзя провести плоскость, то эти прямые скрещиваются.

Решение

В трехмерном пространстве существуют четыре основных случая взаимного расположения двух различных прямых $l_1$ и $l_2$:

1.Прямые пересекаются. Если две прямые $l_1$ и $l_2$ имеют одну общую точку (пересекаются), то согласно аксиомам стереометрии, через две пересекающиеся прямые всегда можно провести единственную плоскость.

2.Прямые параллельны. Если две прямые $l_1$ и $l_2$ не имеют общих точек и лежат в одной плоскости (параллельны), то через них также можно провести единственную плоскость. Это является одним из способов определения плоскости в пространстве.

3.Прямые совпадают. Если прямые $l_1$ и $l_2$ совпадают (то есть являются одной и той же прямой), то через них можно провести бесконечное множество плоскостей. Любая плоскость, содержащая эту прямую, будет содержать обе "прямые".

Во всех этих трех случаях – пересекающихся, параллельных или совпадающих прямых – через данные прямые можно провести плоскость. Такие прямые называются компланарными.

4.Прямые скрещиваются. По определению, две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что они не пересекаются и не параллельны.

Условие задачи гласит, что "через две прямые нельзя провести плоскость". Это утверждение означает, что данные прямые не являются компланарными. Из рассмотренных выше возможных взаимных расположений прямых в пространстве, единственным случаем, когда через две прямые нельзя провести плоскость, является случай скрещивающихся прямых. Если бы они пересекались, были параллельны или совпадали, то плоскость через них всегда можно было бы провести.

Следовательно, если через две прямые нельзя провести плоскость, это по определению означает, что они являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что если через две прямые нельзя провести плоскость, то эти прямые скрещиваются, поскольку по определению скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости. Все остальные возможные расположения прямых (пересекающиеся, параллельные, совпадающие) предполагают, что прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, через них можно провести плоскость.

Верно ли, что две прямые, скрещивающиеся с третьей прямой, скрещиваются между собой. Приведите пример.

Решение

Утверждение о том, что две прямые, скрещивающиеся с третьей прямой, обязательно скрещиваются между собой, неверно. Прямые, скрещивающиеся с третьей прямой, могут быть параллельными друг другу или пересекаться.

Напомним, что прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются и не параллельны.

Пример:

Рассмотрим трехмерную систему координат $(x, y, z)$.

Пусть третья прямая $l_3$ совпадает с осью $x$. Точки на этой прямой имеют координаты $(x, 0, 0)$. Ее направляющий вектор равен $(1, 0, 0)$.

Рассмотрим первую прямую $l_1$, параллельную оси $z$ и проходящую через точку $(0, 1, 0)$. Точки на этой прямой имеют координаты $(0, 1, z)$. Ее направляющий вектор равен $(0, 0, 1)$.

Проверим, являются ли $l_1$ и $l_3$ скрещивающимися прямыми:

Они не параллельны, так как их направляющие векторы $(1, 0, 0)$ и $(0, 0, 1)$ не коллинеарны.

Они не пересекаются. Если бы они пересекались в точке $(x_0, y_0, z_0)$, то $y_0$ для $l_3$ был бы равен $0$, а для $l_1$ — $1$, что невозможно ($0 \ne 1$).

Следовательно, $l_1$ и $l_3$ являются скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим вторую прямую $l_2$, также параллельную оси $z$ и проходящую через точку $(0, 2, 0)$. Точки на этой прямой имеют координаты $(0, 2, z)$. Ее направляющий вектор равен $(0, 0, 1)$.

Проверим, являются ли $l_2$ и $l_3$ скрещивающимися прямыми:

Они не параллельны, так как их направляющие векторы $(1, 0, 0)$ и $(0, 0, 1)$ не коллинеарны.

Они не пересекаются. Если бы они пересекались в точке $(x_0, y_0, z_0)$, то $y_0$ для $l_3$ был бы равен $0$, а для $l_2$ — $2$, что невозможно ($0 \ne 2$).

Следовательно, $l_2$ и $l_3$ также являются скрещивающимися прямыми.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $l_1$ и $l_2$:

Их направляющие векторы равны $(0, 0, 1)$, что означает, что $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Они не пересекаются, так как $y$-координата для $l_1$ всегда равна $1$, а для $l_2$ всегда равна $2$.

Поскольку $l_1$ и $l_2$ параллельны, они не являются скрещивающимися прямыми.

Таким образом, мы построили пример, когда две прямые ($l_1$ и $l_2$), скрещивающиеся с третьей прямой ($l_3$), не скрещиваются между собой (они параллельны).

Ответ:

Нет, это утверждение неверно.