Страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.12. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит прямая, параллельная этой плоскости. Сколько таких прямых?

Доказательство существования прямой

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости ($A \notin \alpha$).

1. Возьмем произвольную прямую $l$, лежащую в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$).

2. Через точку $A$ и прямую $l$ можно провести единственную плоскость $\beta$. Это возможно, так как точка $A$ не лежит на прямой $l$ (иначе $A$ принадлежала бы $\alpha$, что противоречит условию).

3. В плоскости $\beta$ через точку $A$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$ ($m \parallel l$). По аксиоме параллельных прямых (или теореме о существовании параллельной прямой в плоскости) такая прямая существует и единственна в плоскости $\beta$.

4. Поскольку прямая $m$ параллельна прямой $l$, а прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$), и при этом прямая $m$ не лежит в плоскости $\alpha$ (потому что точка $A$ не принадлежит $\alpha$), то по признаку параллельности прямой и плоскости заключаем, что прямая $m$ параллельна плоскости $\alpha$ ($m \parallel \alpha$).

Ответ: Прямая, параллельная данной плоскости и проходящая через заданную точку, существует.

Количество таких прямых

1. Через точку $A$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, можно провести единственную плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$. (Это является теоремой из стереометрии: через точку, не лежащую на данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну).

2. Любая прямая $m$, проходящая через точку $A$ и лежащая в плоскости $\beta$, будет параллельна плоскости $\alpha$. Это следует из того, что если прямая лежит в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то прямая $m$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

3. В плоскости $\beta$ через точку $A$ можно провести бесконечно много прямых. Каждая из этих прямых будет параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Существует бесконечно много таких прямых.

7.13. Докажите, что если две прямые параллельны, то через одну из них проходит плоскость, параллельная другой прямой. Сколько таких плоскостей?

Решение

Доказательство существования плоскости

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$.По определению параллельных прямых в пространстве, если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $\beta$.Таким образом, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), и прямая $b$ также лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).

Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, что удовлетворяет первой части условия ("через одну из них проходит плоскость").

Согласно определению параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек, либо если она лежит в этой плоскости. Поскольку прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то по определению плоскость $\beta$ параллельна прямой $b$ ($\beta \parallel b$).

Следовательно, плоскость $\beta$, содержащая обе параллельные прямые $a$ и $b$, является искомой плоскостью, проходящей через прямую $a$ и параллельной прямой $b$. Это доказывает существование такой плоскости.

Ответ: Доказано.

Определение количества таких плоскостей

Пусть $a$ и $b$ - две параллельные прямые. Мы ищем плоскость $\alpha$, такую что $a \subset \alpha$ и $\alpha \parallel b$.

Рассмотрим два случая для прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$.

1. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). В этом случае плоскость $\alpha$ содержит обе параллельные прямые $a$ и $b$. Известно, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Таким образом, $\alpha = \beta$. Плоскость $\beta$ проходит через $a$ и параллельна $b$ (поскольку $b$ в ней лежит, по определению параллельности). Это одна такая плоскость.

2. Прямая $b$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ ($b \cap \alpha = \emptyset$). В этом случае прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$), но по условию $\alpha \parallel b$. Воспользуемся теоремой о параллельности прямой и плоскости: "Если прямая не лежит в данной плоскости, но параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости." В нашем случае: прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$); прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$); прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$), что дано в условии задачи. Следовательно, по данной теореме, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($\alpha \parallel b$).

Таким образом, любая плоскость $\alpha$, проходящая через прямую $a$ и не содержащая прямую $b$, является плоскостью, параллельной прямой $b$.

Через прямую $a$ проходит бесконечно много плоскостей (так называемый "пучок плоскостей"). Среди них только одна плоскость ($\beta$) содержит также и прямую $b$. Все остальные плоскости, проходящие через $a$, не содержат $b$.

Поскольку любая плоскость, проходящая через прямую $a$, удовлетворяет условию параллельности прямой $b$ (либо $b$ лежит в ней, либо $b$ параллельна ей по вышеупомянутой теореме), то таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: Бесконечно много.

7.14. Даны две скрещивающиеся прямые. Как через одну из них провести плоскость, параллельную другой прямой?

Дано:

Две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Найти:

Построить плоскость $\alpha$ такую, что одна из данных прямых лежит в этой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости.

Решение:

Предположим, нам необходимо построить плоскость $\alpha$, которая содержит прямую $a$ и параллельна прямой $b$.

1. Выберем произвольную точку $M$ на прямой $a$.

2. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, которая параллельна прямой $b$ ($b' \parallel b$). Согласно аксиоме о параллельных прямых в пространстве, такая прямая единственна.

3. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$. Они не могут быть параллельными, так как если бы $a \parallel b'$, то, поскольку $b' \parallel b$, следовало бы, что $a \parallel b$. Это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Таким образом, $a$ и $b'$ являются пересекающимися прямыми.

4. Две пересекающиеся прямые (в нашем случае $a$ и $b'$) однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

5. По построению, прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Также, прямая $b'$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($b' \subset \alpha$).

6. Поскольку прямая $b'$ параллельна прямой $b$ ($b' \parallel b$), и прямая $b'$ лежит в плоскости $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$). Прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как она скрещивается с прямой $a$, которая содержится в $\alpha$.

Таким образом, построенная плоскость $\alpha$ удовлетворяет всем условиям: она содержит одну из данных скрещивающихся прямых ($a$) и параллельна другой данной прямой ($b$).

Ответ:

Чтобы провести плоскость через одну из двух скрещивающихся прямых (например, прямую $a$) так, чтобы эта плоскость была параллельна другой прямой (прямой $b$), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать произвольную точку $M$ на прямой $a$.

2. Через точку $M$ провести прямую $b'$, параллельную прямой $b$.

3. Искомая плоскость будет плоскостью, однозначно определяемой пересекающимися прямыми $a$ и $b'$.

7.15. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные прямая и плоскость.

Параллельные прямые: рельсы железной дороги, противоположные края прямолинейного участка дороги, провода линий электропередач, натянутые струны гитары, линии в школьной тетради.
Плоскость: поверхность стола, поверхность стены, гладкая поверхность воды в безветренную погоду, поверхность оконного стекла, лист бумаги, поверхность пола.
Ответ:

7.16. Попробуйте определить понятие параллельности двух плоскостей.

В геометрии две плоскости называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. В качестве частного случая параллельных плоскостей рассматриваются также совпадающие плоскости.

Признаки параллельности двух плоскостей:

1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти плоскости параллельны между собой.

3. В аналитической геометрии, если плоскости заданы общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, то они параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. Если при этом пропорциональны и свободные члены ($\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$), то плоскости совпадают.

4. С использованием нормальных векторов: две плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны (параллельны). То есть, если $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - нормальные векторы плоскостей, то $\vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$.

Ответ: Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, либо если они совпадают.