Номер 7.13, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.13. Докажите, что если две прямые параллельны, то через одну из них проходит плоскость, параллельная другой прямой. Сколько таких плоскостей?

Решение

Доказательство существования плоскости

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$.По определению параллельных прямых в пространстве, если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $\beta$.Таким образом, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), и прямая $b$ также лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).

Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, что удовлетворяет первой части условия ("через одну из них проходит плоскость").

Согласно определению параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек, либо если она лежит в этой плоскости. Поскольку прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то по определению плоскость $\beta$ параллельна прямой $b$ ($\beta \parallel b$).

Следовательно, плоскость $\beta$, содержащая обе параллельные прямые $a$ и $b$, является искомой плоскостью, проходящей через прямую $a$ и параллельной прямой $b$. Это доказывает существование такой плоскости.

Ответ: Доказано.

Определение количества таких плоскостей

Пусть $a$ и $b$ - две параллельные прямые. Мы ищем плоскость $\alpha$, такую что $a \subset \alpha$ и $\alpha \parallel b$.

Рассмотрим два случая для прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$.

1. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). В этом случае плоскость $\alpha$ содержит обе параллельные прямые $a$ и $b$. Известно, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Таким образом, $\alpha = \beta$. Плоскость $\beta$ проходит через $a$ и параллельна $b$ (поскольку $b$ в ней лежит, по определению параллельности). Это одна такая плоскость.

2. Прямая $b$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ ($b \cap \alpha = \emptyset$). В этом случае прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$), но по условию $\alpha \parallel b$. Воспользуемся теоремой о параллельности прямой и плоскости: "Если прямая не лежит в данной плоскости, но параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости." В нашем случае: прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$); прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$); прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$), что дано в условии задачи. Следовательно, по данной теореме, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($\alpha \parallel b$).

Таким образом, любая плоскость $\alpha$, проходящая через прямую $a$ и не содержащая прямую $b$, является плоскостью, параллельной прямой $b$.

Через прямую $a$ проходит бесконечно много плоскостей (так называемый "пучок плоскостей"). Среди них только одна плоскость ($\beta$) содержит также и прямую $b$. Все остальные плоскости, проходящие через $a$, не содержат $b$.

Поскольку любая плоскость, проходящая через прямую $a$, удовлетворяет условию параллельности прямой $b$ (либо $b$ лежит в ней, либо $b$ параллельна ей по вышеупомянутой теореме), то таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: Бесконечно много.