Номер 7.12, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.12. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит прямая, параллельная этой плоскости. Сколько таких прямых?

Доказательство существования прямой

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости ($A \notin \alpha$).

1. Возьмем произвольную прямую $l$, лежащую в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$).

2. Через точку $A$ и прямую $l$ можно провести единственную плоскость $\beta$. Это возможно, так как точка $A$ не лежит на прямой $l$ (иначе $A$ принадлежала бы $\alpha$, что противоречит условию).

3. В плоскости $\beta$ через точку $A$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$ ($m \parallel l$). По аксиоме параллельных прямых (или теореме о существовании параллельной прямой в плоскости) такая прямая существует и единственна в плоскости $\beta$.

4. Поскольку прямая $m$ параллельна прямой $l$, а прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$), и при этом прямая $m$ не лежит в плоскости $\alpha$ (потому что точка $A$ не принадлежит $\alpha$), то по признаку параллельности прямой и плоскости заключаем, что прямая $m$ параллельна плоскости $\alpha$ ($m \parallel \alpha$).

Ответ: Прямая, параллельная данной плоскости и проходящая через заданную точку, существует.

Количество таких прямых

1. Через точку $A$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, можно провести единственную плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$. (Это является теоремой из стереометрии: через точку, не лежащую на данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну).

2. Любая прямая $m$, проходящая через точку $A$ и лежащая в плоскости $\beta$, будет параллельна плоскости $\alpha$. Это следует из того, что если прямая лежит в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то прямая $m$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

3. В плоскости $\beta$ через точку $A$ можно провести бесконечно много прямых. Каждая из этих прямых будет параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Существует бесконечно много таких прямых.