Номер 7.5, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.5. Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Решение

Рассмотрим две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, и плоскость $\alpha$. По условию, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, то есть $l_1 \parallel l_2$. Также по условию, одна из этих прямых, например, $l_1$, параллельна плоскости $\alpha$, то есть $l_1 \parallel \alpha$. Необходимо определить, будет ли вторая прямая $l_2$ также параллельна плоскости $\alpha$.

В стереометрии существует теорема, которая гласит: если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то и вторая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней. Рассмотрим это утверждение более подробно.

Случай 1: Прямая $l_1$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l_1 \subset \alpha$). В этом случае прямая $l_1$ является параллельной плоскости $\alpha$ по определению. Поскольку прямая $l_2$ параллельна прямой $l_1$ ($l_2 \parallel l_1$), и $l_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $l_2$ либо совпадает с $l_1$ (и тогда $l_2 \subset \alpha$), либо $l_2$ параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней. Если $l_2$ не совпадает с $l_1$, то $l_2$ не может пересекать плоскость $\alpha$. Если бы $l_2$ пересекала $\alpha$ в некоторой точке, то через эту точку и прямую $l_1$ (или другую точку на $l_1$ для создания плоскости) можно было бы построить плоскость, в которой $l_1$ и $l_2$ были бы параллельны и $l_2$ пересекала $\alpha$, а $l_1$ лежала бы в $\alpha$. В этом случае $l_2$ оказалась бы лежащей в $\alpha$, так как две параллельные прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость, должны приводить к тому, что точка пересечения лежит на первой прямой, что противоречит их параллельности (если они не совпадают). Таким образом, $l_2$ не пересекает плоскость $\alpha$, а значит, $l_2 \parallel \alpha$. В любом случае, $l_2$ параллельна $\alpha$ (включая случай, когда $l_2$ лежит в $\alpha$).

Случай 2: Прямая $l_1$ не лежит в плоскости $\alpha$, но параллельна ей ($l_1 \parallel \alpha$ и $l_1 \not\subset \alpha$). Предположим противное, что прямая $l_2$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда $l_2$ должна пересекать плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Поскольку $l_1 \parallel l_2$, эти две прямые лежат в одной плоскости, назовем ее $\beta$. Плоскость $\beta$ содержит прямую $l_2$, которая пересекает $\alpha$ в точке $M$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $m$, которая проходит через точку $M$. То есть $m = \alpha \cap \beta$, и $M \in m$. Так как прямая $l_1$ лежит в плоскости $\beta$ ($l_1 \subset \beta$) и параллельна плоскости $\alpha$ ($l_1 \parallel \alpha$), а плоскости $\beta$ и $\alpha$ пересекаются по прямой $m$, то прямая $l_1$ должна быть параллельна прямой $m$. (Это следует из свойства: если плоскость, содержащая прямую, параллельную другой плоскости, пересекает эту вторую плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой). Таким образом, $l_1 \parallel m$. У нас есть следующие факты: $l_1 \parallel l_2$ (дано) и $l_1 \parallel m$ (доказано выше). Из транзитивности параллельности прямых следует, что $l_2 \parallel m$. Однако, мы знаем, что прямая $l_2$ пересекает прямую $m$ в точке $M$ (так как $M$ - точка пересечения $l_2$ с $\alpha$, и $m$ - линия пересечения $\beta$ с $\alpha$, причем $l_2 \subset \beta$). Если две параллельные прямые имеют общую точку, они должны совпадать. Следовательно, $l_2 = m$. Если $l_2 = m$, то $l_2$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l_2 \subset \alpha$), так как $m$ является линией в плоскости $\alpha$. А если прямая лежит в плоскости, то она ей параллельна. Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что $l_2$ не параллельна $\alpha$ (в смысле, что она пересекает), привело к выводу, что $l_2$ на самом деле параллельна $\alpha$ (и даже лежит в ней), что является противоречием с предположением о пересечении. Это доказывает, что $l_2$ не может пересекать $\alpha$, а значит $l_2 \parallel \alpha$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что вторая прямая также параллельна данной плоскости (или лежит в ней, что является частным случаем параллельности).

Ответ: Да, верно.