Номер 7.4, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.4. Верно ли, что если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости?

Да, это утверждение верно.

Рассмотрим данное утверждение:

Пусть дана прямая $a$, плоскость $\alpha$ и прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$.

Условие: прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), и прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Вопрос: Следует ли из этих условий, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$)?

Определение: Прямая считается параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек (то есть не пересекает ее), или если она целиком лежит в этой плоскости.

Для ответа на вопрос рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$:

Случай 1: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

В этом случае, по определению параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ по определению параллельна плоскости $\alpha$. Условие $a \parallel b$ (где $b \subset \alpha$) может быть выполнено, например, если $a$ и $b$ - это две различные параллельные прямые, лежащие в плоскости $\alpha$. Таким образом, в данном случае утверждение верно.

Случай 2: Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

В этом случае применяется один из основных признаков параллельности прямой и плоскости, который гласит: "Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости".

Согласно этому признаку, если $a \not\subset \alpha$ и нам дано, что $a \parallel b$ (где $b \subset \alpha$), то прямая $a$ обязательно будет параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Таким образом, и в этом случае утверждение также верно.

Поскольку утверждение оказывается верным в обоих возможных случаях расположения прямой $a$ относительно плоскости $\alpha$ (как когда прямая лежит в плоскости, так и когда она не лежит в ней), исходное утверждение является истинным.

Ответ: Верно.