Номер 7.10, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.10. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 7.8) прямая $AB_1$ параллельна плоскости:

а) $CDD_1$;

б) $BDC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Доказать, что прямая $AB_1$ параллельна плоскости: а) $CDD_1$; б) $BDC_1$.

Решение

а) CDD₁

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $CDD_1$ является одной из боковых граней куба, а именно гранью $CDD_1C_1$. Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. В кубе противоположные грани параллельны. Следовательно, плоскость грани $ABB_1A_1$ параллельна плоскости грани $CDD_1C_1$. Прямая $AB_1$ полностью лежит в плоскости $ABB_1A_1$, поскольку точки $A$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости. По определению, если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна другой плоскости. Таким образом, прямая $AB_1$ параллельна плоскости $CDD_1C_1$, то есть плоскости $CDD_1$.

Ответ: Доказано.

б) BDC₁

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим четырехугольник $ADC_1B_1$. В этом четырехугольнике сторона $AD$ параллельна стороне $B_1C_1$, так как $AD$ является ребром нижней грани, а $B_1C_1$ — ребром верхней грани, и обе эти грани параллельны. Более строго, $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, следовательно, $AD \parallel B_1C_1$. Так как это куб, все его ребра равны, поэтому $AD = B_1C_1$. Поскольку в четырехугольнике $ADC_1B_1$ две противоположные стороны ($AD$ и $B_1C_1$) параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Таким образом, прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$. Прямая $DC_1$ лежит в плоскости $BDC_1$, поскольку точки $D$ и $C_1$ являются вершинами, которые определяют эту плоскость. Если прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$, которая лежит в плоскости $BDC_1$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ параллельна плоскости $BDC_1$.

Ответ: Доказано.