Номер 7.9, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Глава I. Аксиомы стереометрии. Параллельность в пространстве. Параграф 7. Взаимное расположение прямой и плоскости - номер 7.9, страница 52.

Условие.

жите, что $CD \parallel \alpha$.

7.9. Сторона $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежит в плоскости $\alpha$, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены остальные стороны $ABCDEF$ относительно плоскости $\alpha$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Правильный шестиугольник ABCDEF. Сторона AF лежит в плоскости \alpha. Плоскость шестиугольника не совпадает с плоскостью \alpha.

Найти:

Положение остальных сторон шестиугольника ABCDEF относительно плоскости \alpha.

Решение:

Пусть плоскость шестиугольника обозначим P_{hex}. По условию, AF \subset \alpha и P_{hex} \ne \alpha. Это означает, что плоскости P_{hex} и \alpha пересекаются по прямой, содержащей отрезок AF, и образуют между собой некоторый двугранный угол \theta \ne 0. Поскольку плоскость P_{hex} не совпадает с \alpha, то все вершины шестиугольника, кроме A и F, находятся по одну сторону от плоскости \alpha.

Для анализа положения каждой стороны, рассмотрим свойства правильного шестиугольника со стороной длиной s:
1. Все стороны равны по длине s.
2. Противоположные стороны параллельны: AB \parallel DE, BC \parallel EF, CD \parallel AF.
3. Расстояния от вершин до прямой, содержащей AF (измеренные в плоскости шестиугольника):
- Расстояние от A до AF равно 0.
- Расстояние от F до AF равно 0.
- Расстояние от B до AF равно s \cdot \sin(60^\circ) = s\frac{\sqrt{3}}{2}.
- Расстояние от E до AF равно s \cdot \sin(60^\circ) = s\frac{\sqrt{3}}{2}.
- Расстояние от C до AF равно s\sqrt{3} (это расстояние от стороны CD до AF, поскольку CD \parallel AF).
- Расстояние от D до AF равно s\sqrt{3}.
Расстояние от точки X в плоскости шестиугольника до плоскости \alpha (d(X, \alpha)) определяется как d(X, \alpha) = d(X, AF) \cdot \sin \theta, где \theta — угол между плоскостью шестиугольника и плоскостью \alpha. Так как плоскости не совпадают, \theta \ne 0, и, следовательно, \sin \theta \ne 0. Таким образом, расстояния от вершин до плоскости \alpha следующие:
- d(A, \alpha) = 0.
- d(F, \alpha) = 0.
- d(B, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta.
- d(E, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta.
- d(C, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta.
- d(D, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta.
Поскольку s > 0 и \sin \theta \ne 0, все расстояния d(B, \alpha), d(C, \alpha), d(D, \alpha), d(E, \alpha) строго больше нуля, что подтверждает, что вершины B, C, D, E не лежат в плоскости \alpha и находятся по одну её сторону.

Рассмотрим положение каждой стороны:

Положение стороны AF:
По условию задачи, сторона AF лежит в плоскости \alpha.
Ответ: Сторона AF лежит в плоскости \alpha.

Положение стороны AB:
Точка A лежит в плоскости \alpha (d(A, \alpha) = 0), а точка B не лежит в плоскости \alpha (d(B, \alpha) > 0). Если один конец отрезка лежит в плоскости, а другой нет, то отрезок пересекает плоскость в точке, являющейся концом отрезка, лежащим в плоскости.
Ответ: Сторона AB пересекает плоскость \alpha в точке A.

Положение стороны EF:
Аналогично стороне AB: Точка F лежит в плоскости \alpha (d(F, \alpha) = 0), а точка E не лежит в плоскости \alpha (d(E, \alpha) > 0).
Ответ: Сторона EF пересекает плоскость \alpha в точке F.

Положение стороны CD:
В правильном шестиугольнике сторона CD параллельна стороне AF (CD \parallel AF). Так как AF \subset \alpha и CD \parallel AF, то прямая, содержащая CD, параллельна плоскости \alpha. Поскольку d(C, \alpha) > 0 и d(D, \alpha) > 0, точки C и D не лежат в \alpha. Следовательно, отрезок CD не лежит в \alpha и параллелен ей.
Ответ: Сторона CD параллельна плоскости \alpha.

Положение стороны BC:
Точки B и C не лежат в плоскости \alpha (так как d(B, \alpha) > 0 и d(C, \alpha) > 0). Расстояния до плоскости \alpha для концов отрезка BC различны: d(B, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta и d(C, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta. Поскольку d(B, \alpha) \ne d(C, \alpha), прямая, содержащая BC, не параллельна плоскости \alpha, и значит, она пересекает плоскость \alpha в некоторой точке. Так как обе точки B и C находятся по одну сторону от плоскости \alpha, точка пересечения прямой BC с плоскостью \alpha лежит вне отрезка BC (на его продолжении). Следовательно, сам отрезок BC не пересекает плоскость \alpha и не лежит в ней.
Ответ: Сторона BC не параллельна плоскости \alpha, не лежит в ней и не имеет общих точек с плоскостью \alpha (пересечение происходит на продолжении).

Положение стороны DE:
Аналогично стороне BC: Точки D и E не лежат в плоскости \alpha (так как d(D, \alpha) > 0 и d(E, \alpha) > 0). Расстояния до плоскости \alpha для концов отрезка DE различны: d(D, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta и d(E, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta. Поскольку d(D, \alpha) \ne d(E, \alpha), прямая, содержащая DE, не параллельна плоскости \alpha, и значит, она пересекает плоскость \alpha в некоторой точке. Так как обе точки D и E находятся по одну сторону от плоскости \alpha, точка пересечения прямой DE с плоскостью \alpha лежит вне отрезка DE (на его продолжении). Следовательно, сам отрезок DE не пересекает плоскость \alpha и не лежит в ней.
Ответ: Сторона DE не параллельна плоскости \alpha, не лежит в ней и не имеет общих точек с плоскостью \alpha (пересечение происходит на продолжении).