Номер 7.9, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

жите, что $CD \parallel \alpha$.

7.9. Сторона $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежит в плоскости $\alpha$, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены остальные стороны $ABCDEF$ относительно плоскости $\alpha$?

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$. Сторона $AF$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость шестиугольника не совпадает с плоскостью $\alpha$.

Найти:

Положение остальных сторон шестиугольника $ABCDEF$ относительно плоскости $\alpha$.

Решение:

Пусть плоскость шестиугольника обозначим $P_{hex}$. По условию, $AF \subset \alpha$ и $P_{hex} \ne \alpha$. Это означает, что плоскости $P_{hex}$ и $\alpha$ пересекаются по прямой, содержащей отрезок $AF$, и образуют между собой некоторый двугранный угол $\theta \ne 0$. Поскольку плоскость $P_{hex}$ не совпадает с $\alpha$, то все вершины шестиугольника, кроме $A$ и $F$, находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$.

Для анализа положения каждой стороны, рассмотрим свойства правильного шестиугольника со стороной длиной $s$:
1. Все стороны равны по длине $s$.
2. Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$, $CD \parallel AF$.
3. Расстояния от вершин до прямой, содержащей $AF$ (измеренные в плоскости шестиугольника):
- Расстояние от $A$ до $AF$ равно $0$.
- Расстояние от $F$ до $AF$ равно $0$.
- Расстояние от $B$ до $AF$ равно $s \cdot \sin(60^\circ) = s\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Расстояние от $E$ до $AF$ равно $s \cdot \sin(60^\circ) = s\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Расстояние от $C$ до $AF$ равно $s\sqrt{3}$ (это расстояние от стороны $CD$ до $AF$, поскольку $CD \parallel AF$).
- Расстояние от $D$ до $AF$ равно $s\sqrt{3}$.
Расстояние от точки $X$ в плоскости шестиугольника до плоскости $\alpha$ ($d(X, \alpha)$) определяется как $d(X, \alpha) = d(X, AF) \cdot \sin \theta$, где $\theta$ — угол между плоскостью шестиугольника и плоскостью $\alpha$. Так как плоскости не совпадают, $\theta \ne 0$, и, следовательно, $\sin \theta \ne 0$. Таким образом, расстояния от вершин до плоскости $\alpha$ следующие:
- $d(A, \alpha) = 0$.
- $d(F, \alpha) = 0$.
- $d(B, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$.
- $d(E, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$.
- $d(C, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta$.
- $d(D, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta$.
Поскольку $s > 0$ и $\sin \theta \ne 0$, все расстояния $d(B, \alpha)$, $d(C, \alpha)$, $d(D, \alpha)$, $d(E, \alpha)$ строго больше нуля, что подтверждает, что вершины $B, C, D, E$ не лежат в плоскости $\alpha$ и находятся по одну её сторону.

Рассмотрим положение каждой стороны:

Положение стороны AF:
По условию задачи, сторона $AF$ лежит в плоскости $\alpha$.
Ответ: Сторона $AF$ лежит в плоскости $\alpha$.

Положение стороны AB:
Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d(A, \alpha) = 0$), а точка $B$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($d(B, \alpha) > 0$). Если один конец отрезка лежит в плоскости, а другой нет, то отрезок пересекает плоскость в точке, являющейся концом отрезка, лежащим в плоскости.
Ответ: Сторона $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$.

Положение стороны EF:
Аналогично стороне $AB$: Точка $F$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d(F, \alpha) = 0$), а точка $E$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($d(E, \alpha) > 0$).
Ответ: Сторона $EF$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$.

Положение стороны CD:
В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна стороне $AF$ ($CD \parallel AF$). Так как $AF \subset \alpha$ и $CD \parallel AF$, то прямая, содержащая $CD$, параллельна плоскости $\alpha$. Поскольку $d(C, \alpha) > 0$ и $d(D, \alpha) > 0$, точки $C$ и $D$ не лежат в $\alpha$. Следовательно, отрезок $CD$ не лежит в $\alpha$ и параллелен ей.
Ответ: Сторона $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Положение стороны BC:
Точки $B$ и $C$ не лежат в плоскости $\alpha$ (так как $d(B, \alpha) > 0$ и $d(C, \alpha) > 0$). Расстояния до плоскости $\alpha$ для концов отрезка $BC$ различны: $d(B, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$ и $d(C, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta$. Поскольку $d(B, \alpha) \ne d(C, \alpha)$, прямая, содержащая $BC$, не параллельна плоскости $\alpha$, и значит, она пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке. Так как обе точки $B$ и $C$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$, точка пересечения прямой $BC$ с плоскостью $\alpha$ лежит вне отрезка $BC$ (на его продолжении). Следовательно, сам отрезок $BC$ не пересекает плоскость $\alpha$ и не лежит в ней.
Ответ: Сторона $BC$ не параллельна плоскости $\alpha$, не лежит в ней и не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ (пересечение происходит на продолжении).

Положение стороны DE:
Аналогично стороне $BC$: Точки $D$ и $E$ не лежат в плоскости $\alpha$ (так как $d(D, \alpha) > 0$ и $d(E, \alpha) > 0$). Расстояния до плоскости $\alpha$ для концов отрезка $DE$ различны: $d(D, \alpha) = s\sqrt{3} \sin \theta$ и $d(E, \alpha) = s\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$. Поскольку $d(D, \alpha) \ne d(E, \alpha)$, прямая, содержащая $DE$, не параллельна плоскости $\alpha$, и значит, она пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке. Так как обе точки $D$ и $E$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$, точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$ лежит вне отрезка $DE$ (на его продолжении). Следовательно, сам отрезок $DE$ не пересекает плоскость $\alpha$ и не лежит в ней.
Ответ: Сторона $DE$ не параллельна плоскости $\alpha$, не лежит в ней и не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ (пересечение происходит на продолжении).