Номер 7.11, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

$k_a$, $S_{BD_1}$, $H_1$, $S_{BCD_1}$, $S_{BCD_1}$

7.11.Плоскость

проходит через середины двух сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника.

Докажите, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $M$ – середина стороны $AB$.

Точка $N$ – середина стороны $AC$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$.

Плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью треугольника $ABC$.

Найти:

Доказать, что плоскость $\alpha$ параллельна стороне $BC$ треугольника $ABC$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

По теореме о средней линии треугольника, средняя линия $MN$ параллельна третьей стороне $BC$ и равна ее половине: $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC$.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $MN$, лежит в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямую $BC$ и плоскость $\alpha$.

Нам дано, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью треугольника $ABC$. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, но не совпадает с прямой $MN$, и плоскости не совпадают, то прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$. (Если бы $BC$ лежала в $\alpha$, то так как $MN \parallel BC$ и $MN$ лежит в $\alpha$, а $M, N$ также лежат в плоскости $ABC$, то плоскость $ABC$ должна была бы совпасть с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию).

Применим признак параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае:

1. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$.
2. Прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.
3. Прямая $BC$ параллельна прямой $MN$ ($BC \parallel MN$).

Исходя из этих трех условий, по признаку параллельности прямой и плоскости, делаем вывод, что прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: