Номер 7.14, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.14. Даны две скрещивающиеся прямые. Как через одну из них провести плоскость, параллельную другой прямой?

Дано:

Две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Найти:

Построить плоскость $\alpha$ такую, что одна из данных прямых лежит в этой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости.

Решение:

Предположим, нам необходимо построить плоскость $\alpha$, которая содержит прямую $a$ и параллельна прямой $b$.

1. Выберем произвольную точку $M$ на прямой $a$.

2. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, которая параллельна прямой $b$ ($b' \parallel b$). Согласно аксиоме о параллельных прямых в пространстве, такая прямая единственна.

3. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$. Они не могут быть параллельными, так как если бы $a \parallel b'$, то, поскольку $b' \parallel b$, следовало бы, что $a \parallel b$. Это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Таким образом, $a$ и $b'$ являются пересекающимися прямыми.

4. Две пересекающиеся прямые (в нашем случае $a$ и $b'$) однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

5. По построению, прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Также, прямая $b'$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($b' \subset \alpha$).

6. Поскольку прямая $b'$ параллельна прямой $b$ ($b' \parallel b$), и прямая $b'$ лежит в плоскости $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$). Прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как она скрещивается с прямой $a$, которая содержится в $\alpha$.

Таким образом, построенная плоскость $\alpha$ удовлетворяет всем условиям: она содержит одну из данных скрещивающихся прямых ($a$) и параллельна другой данной прямой ($b$).

Ответ:

Чтобы провести плоскость через одну из двух скрещивающихся прямых (например, прямую $a$) так, чтобы эта плоскость была параллельна другой прямой (прямой $b$), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать произвольную точку $M$ на прямой $a$.

2. Через точку $M$ провести прямую $b'$, параллельную прямой $b$.

3. Искомая плоскость будет плоскостью, однозначно определяемой пересекающимися прямыми $a$ и $b'$.