Страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.12. Каково взаимное расположение прямых $EF$ и $GH$ (рис. 6.9)? Ответ объясните.

Рис. 6.9

Дано:

Пирамида ABCD (тетраэдр).

Точка E лежит на ребре AB.

Точка F лежит на ребре AD.

Точка G лежит на ребре BC.

Точка H лежит на ребре CD.

Найти:

Взаимное расположение прямых EF и GH.

Решение:

Рассмотрим взаимное расположение прямых EF и GH в тетраэдре ABCD.

Прямая EF соединяет точку E на ребре AB и точку F на ребре AD. Следовательно, прямая EF лежит в плоскости грани ABD.

Прямая GH соединяет точку G на ребре BC и точку H на ребре CD. Следовательно, прямая GH лежит в плоскости грани BCD.

Плоскости ABD и BCD являются различными плоскостями, так как тетраэдр ABCD является невырожденной трехмерной фигурой, и точка C не лежит в плоскости ABD.

Линией пересечения плоскостей ABD и BCD является прямая BD.

Чтобы прямые EF и GH пересекались, их точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей, то есть на прямой BD. Однако, в общем случае, прямая EF не пересекает прямую BD (только если E=B или F=D, или EF совпадает с BD), и прямая GH также не пересекает прямую BD (только если G=B или H=D, или GH совпадает с BD). Поскольку точки E, F, G, H являются произвольными точками на соответствующих ребрах, в общем случае прямые EF и GH не будут иметь общих точек на прямой BD.

Так как прямые EF и GH лежат в разных плоскостях и не имеют общих точек, они не могут быть ни параллельными (для параллельности необходимо лежать в одной плоскости), ни пересекающимися.

Следовательно, прямые EF и GH являются скрещивающимися прямыми.

Ответ:

Прямые EF и GH являются скрещивающимися.

6.13. Пересекаются ли отрезки $EH$ и $FG$ (рис. 6.10)? Ответ объясните.

Рис. 6.10

Ответ:

Нет, отрезки EH и FG не пересекаются.

Объяснение:

Для того чтобы два отрезка пересекались, они должны лежать в одной плоскости и иметь общую точку.

Рассмотрим положение точек, определяющих данные отрезки в пирамиде (рис. 6.10):

Отрезок EH соединяет точку E, расположенную на ребре основания AB, с точкой H, расположенной на боковом ребре SC.

Отрезок FG соединяет точку F, расположенную на боковом ребре SA, с точкой G, расположенной на ребре основания BC.

Прямая, содержащая отрезок EH, проходит через две несмежные грани пирамиды (основание и боковую грань SCD, если H принадлежит ей) и соединяет точки на скрещивающихся рёбрах AB и SC.

Аналогично, прямая, содержащая отрезок FG, проходит через боковое ребро SA и ребро основания BC. Эти рёбра (SA и BC) также являются скрещивающимися прямыми.

Поскольку линии, содержащие отрезки EH и FG, являются скрещивающимися прямыми (то есть, они не параллельны и не лежат в одной плоскости), то сами отрезки EH и FG не могут пересекаться.

Ответ: Нет.

6.14. Возможно ли такое расположение карандашей (рис. 6.11)? Ответ объясните.

Рис. 6.11

6.14. Такое расположение карандашей, как показано на рисунке 6.11, невозможно в реальном трехмерном пространстве. Этот рисунок создает оптическую иллюзию или парадокс. Если внимательно проследить за относительным положением карандашей, можно заметить, что карандаш 1 находится над карандашом 2, карандаш 2 находится над карандашом 3, а карандаш 3, в свою очередь, находится над карандашом 1. Это создает замкнутый цикл "над-под", который не может существовать для трехмерных объектов, лежащих друг на друге, потому что свойство "быть над" является транзитивным. То есть, если $A$ над $B$, а $B$ над $C$, то $A$ должно быть над $C$. В данном случае мы имеем $1$ над $2$, $2$ над $3$, но $3$ над $1$, что противоречит транзитивности.

Ответ: Такое расположение карандашей невозможно.

6.15. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые — это прямые в трёхмерном пространстве, которые не являются параллельными и не пересекаются. Для их идеализации требуются объекты, чьи линейные элементы находятся в разных плоскостях и не имеют общих точек.

Примеры реальных объектов, идеализацией которых являются скрещивающиеся прямые:

• Рёбра прямоугольного параллелепипеда (например, комнаты, коробки, кирпича): Рассмотрим две непараллельные грани. Например, верхнее переднее ребро и нижнее заднее ребро справа. Эти рёбра не параллельны и не пересекаются, находясь в разных плоскостях.

• Провода линий электропередач: Два провода, идущие от разных опор или по разным направлениям, могут являться скрещивающимися прямыми, если они не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются.

• Несущие балки или фермы в сложных строительных конструкциях: В многоуровневых зданиях или инженерных сооружениях элементы каркаса (например, стальные балки), которые не находятся в одной плоскости, могут быть расположены так, что их оси не параллельны и не пересекаются.

• Перекладины в пространственных решетчатых конструкциях: Например, в конструкции вышки или моста, где отдельные стержни пересекаются в пространстве, но некоторые пары стержней могут быть не параллельными и не пересекаться друг с другом.

Ответ: Примеры реальных объектов, идеализацией которых являются скрещивающиеся прямые, включают рёбра прямоугольного параллелепипеда (например, верхнее переднее ребро и нижнее заднее ребро справа), провода линий электропередач, несущие балки в сложных строительных конструкциях и перекладины в пространственных решетчатых конструкциях.

6.16. Попробуйте определить понятие параллельности прямой и плоскости.

Определение понятия параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек, либо если прямая полностью лежит в данной плоскости. Это означает, что для прямой $a$ и плоскости $\alpha$ условие параллельности $a \parallel \alpha$ выполняется, если их пересечение является пустым множеством ($a \cap \alpha = \emptyset$) или если прямая $a$ является подмножеством плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). В первом случае прямая и плоскость не пересекаются, находясь на постоянном расстоянии друг от друга во всем пространстве. Во втором случае прямая целиком принадлежит плоскости.

Ответ: