Страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что если две плоскости параллельны, то любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, параллельна другой плоскости.

Дано:

Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Доказать:

Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Решение:

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$. Если прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$, то по определению прямой, не параллельной плоскости, они должны пересекаться в некоторой точке $M$. Таким образом, точка $M$ принадлежит прямой $a$ и точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in a$ и $M \in \beta$). Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ (по условию $a \subset \alpha$), то любая точка прямой $a$, включая точку $M$, также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Мы получили, что точка $M$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ ($M \in \alpha$ и $M \in \beta$). Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$. Однако, по условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), что по определению означает, что они не имеют общих точек и не пересекаются. Полученное противоречие (плоскости имеют общую точку $M$ и одновременно параллельны) опровергает наше первоначальное предположение. Следовательно, наше предположение о том, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$, неверно. Отсюда следует, что прямая $a$ должна быть параллельна плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что если две плоскости параллельны, то любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, параллельна другой плоскости.

Верно ли, что если две плоскости параллельны, то любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, параллельна любой прямой, лежащей в другой плоскости?

Решение

Нет, это утверждение неверно.

Рассмотрим две параллельные плоскости, например, плоскость $\alpha$ и плоскость $\beta$. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек.

Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то никакая точка, лежащая в плоскости $\alpha$, не лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут иметь общих точек, то есть они не пересекаются.

Однако, в пространстве две непересекающиеся прямые не обязательно параллельны. Они могут быть скрещивающимися.

Приведем контрпример:

Представим две параллельные плоскости как пол и потолок комнаты. Пусть прямая $a$ – это линия, идущая вдоль одной стены по полу (например, вдоль оси X). Пусть прямая $b$ – это линия, идущая вдоль другой стены по потолку, перпендикулярной первой стене (например, вдоль оси Y). Эти две прямые $a$ и $b$ лежат в параллельных плоскостях (пол и потолок соответственно), они не пересекаются (поскольку лежат в разных плоскостях), но они не параллельны друг другу. Они являются скрещивающимися прямыми.

Условие параллельности двух прямых в пространстве означает, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются, или что они имеют одно и то же направление. В данном случае прямые $a$ и $b$, лежащие в разных параллельных плоскостях, не обязательно имеют одно и то же направление.

Ответ:

Нет.

Вопросы

1. Какие две плоскости называются параллельными?

2. Перечислите случаи взаимного расположения двух плоскостей.

3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

1. Какие две плоскости называются параллельными?

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются). В некоторых определениях также считается, что две совпадающие плоскости являются параллельными.

Ответ:

2. Перечислите случаи взаимного расположения двух плоскостей.

Существуют три случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

1.Плоскости пересекаются: Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой линии, которая является их общей частью.

2.Плоскости параллельны: Если две плоскости не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

3.Плоскости совпадают: Если все точки одной плоскости принадлежат другой плоскости, то эти плоскости совпадают (идентичны). В этом случае они также считаются параллельными.

Ответ:

3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

Признак параллельности двух плоскостей формулируется следующим образом: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти две плоскости параллельны.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Если в плоскости $\alpha$ есть две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, такие что $a \cap b = M$, и в плоскости $\beta$ есть две пересекающиеся прямые $a'$ и $b'$, такие что $a' \cap b' = N$, при этом $a \parallel a'$ и $b \parallel b'$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Ответ:

8.1. Укажите параллельные плоскости, содержащие грани параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 8.4).

₁B₁C₁D₁Рис. 8.4

Решение

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются параллельными, следовательно, плоскости, содержащие эти грани, также параллельны. Выделим следующие пары параллельных плоскостей:

Плоскость, содержащая нижнюю грань $ABCD$, параллельна плоскости, содержащей верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$.
Это выражается как: $\$(ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1)\$

Плоскость, содержащая переднюю грань $ABB_1A_1$, параллельна плоскости, содержащей заднюю грань $DCC_1D_1$.
Это выражается как: $\$(ABB_1A_1) \parallel (DCC_1D_1)\$

Плоскость, содержащая левую боковую грань $ADD_1A_1$, параллельна плоскости, содержащей правую боковую грань $BCC_1B_1$.
Это выражается как: $\$(ADD_1A_1) \parallel (BCC_1B_1)\$

Ответ:

Параллельные плоскости, содержащие грани параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$:
$\$(ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1)\$
$\$(ABB_1A_1) \parallel (DCC_1D_1)\$
$\$(ADD_1A_1) \parallel (BCC_1B_1)\$