Страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется углом в пространстве?

Углом в пространстве между двумя прямыми называется величина наименьшего из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным прямым. Этот угол лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно.

Ответ:

2. Что называется углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве?

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из двух углов, образованных этими прямыми при их пересечении. Если прямые перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$. Если прямые совпадают, угол равен $0^\circ$.

Ответ:

3. Что называется углом между двумя скрещивающимися прямыми?

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между одной из этих прямых и прямой, пересекающей первую и параллельной второй из данных прямых (или между двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых параллельна одной из данных скрещивающихся прямых). За угол между скрещивающимися прямыми принимают наименьший из полученных углов, то есть угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно.

Ответ:

4. Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Это определение применимо как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.

Ответ:

5. Какие свойства справедливы для углов в пространстве?

Для углов между прямыми в пространстве справедливы следующие свойства:
1. угол между двумя параллельными прямыми равен $0^\circ$;
2. угол между двумя перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$;
3. угол между прямыми всегда принимается наименьшим из возможных, то есть находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно;
4. угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки, через которую проводятся вспомогательные параллельные прямые.

Ответ:

6. Как можно найти углы прямоугольного треугольника с известными сторонами?

Для нахождения углов прямоугольного треугольника с известными сторонами можно использовать тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) и их обратные функции.

Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, а $A$ и $B$ — острые углы, лежащие напротив катетов $a$ и $b$ соответственно. Угол при вершине прямого угла равен $90^\circ$.

1. $sin(A) = \frac{a}{c} \implies A = arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$;
2. $cos(A) = \frac{b}{c} \implies A = arccos\left(\frac{b}{c}\right)$;
3. $tan(A) = \frac{a}{b} \implies A = arctan\left(\frac{a}{b}\right)$;
4. $sin(B) = \frac{b}{c} \implies B = arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$;
5. $cos(B) = \frac{a}{c} \implies B = arccos\left(\frac{a}{c}\right)$;
6. $tan(B) = \frac{b}{a} \implies B = arctan\left(\frac{b}{a}\right)$.

После нахождения одного острого угла, второй можно найти, используя свойство суммы углов треугольника: $A + B + 90^\circ = 180^\circ$, откуда $B = 90^\circ - A$.

Ответ:

7. Как можно найти углы произвольного треугольника с известными сторонами?

Для нахождения углов произвольного треугольника с известными сторонами используется теорема косинусов.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, а $A, B, C$ — углы, лежащие напротив этих сторон соответственно.

1. Для угла $A$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A) \implies cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$;
2. Для угла $B$: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(B) \implies cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$;
3. Для угла $C$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C) \implies cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

Таким образом, углы можно найти как обратные косинусы соответствующих выражений:

1. $A = arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$;
2. $B = arccos\left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$;
3. $C = arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$.

Ответ:

9.1. Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

61

Дано:

Дана прямая $L$ в пространстве. На прямой $L$ взята точка $A$.

Найти:

Количество прямых, проходящих через точку $A$ и перпендикулярных данной прямой $L$.

Решение:

Рассмотрим прямую $L$ в трехмерном пространстве и точку $A$, которая лежит на этой прямой. Задача заключается в определении количества прямых, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: они проходят через точку $A$ и являются перпендикулярными прямой $L$.

В геометрии (стереометрии) существует теорема, которая гласит, что через любую заданную точку пространства можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой. Пусть эта плоскость будет обозначена как $\alpha$. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $L$.

Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения. В нашем случае, прямая $L$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ в точке $A$. Следовательно, любая прямая, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$, будет перпендикулярна прямой $L$.

Из планиметрии известно, что через заданную точку в плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Поскольку все искомые прямые должны лежать в плоскости $\alpha$ и проходить через точку $A$ (которая принадлежит этой плоскости), то таких прямых будет бесконечное множество. Эти прямые образуют плоскость, которая перпендикулярна исходной прямой $L$ в точке $A$.

Ответ:

Бесконечное множество.